扇形统计图

扇形统计图（pie chart），也叫饼图，用一个圆表示整体，用圆内各扇形表示整体中的各部分。一个类别占整体多少，所对应扇形的圆心角和面积就占整圆多少。它首先回答“整体怎样分成几部分”，适合与条形图配合阅读。加拿大统计局：Pie chart

先确定这个圆代表什么

设一次活动有 40 名参加者，记录每人当天的主要到达方式：步行 12 人、自行车 11 人、公交 9 人、轨道交通 8 人。这是贯穿本条与条形图的合成教学数据，不是实际调查结果。

一个人可能先步行、再乘车，因此“主要”需要事先规定。本例按路程最长的一段归类；同样长时由参加者指定其中一种，每人最终只保留一个类别。本例四类覆盖了全部 40 人，没有漏报或其他方式。这样才能把一整圆解释为“这 40 人”，并使每个人在圆中只被计算一次。

同一个整体的三种表达

主要方式	人数	占全部人数的比例	百分数	圆心角
步行	12	$12/40$	30%	$108^{\circ }$
自行车	11	$11/40$	27.5%	$99^{\circ }$
公交	9	$9/40$	22.5%	$81^{\circ }$
轨道交通	8	$8/40$	20%	$72^{\circ }$
合计	40	1	100%	$360^{\circ }$

表里每一行都除以同一个数 40。将四类加起来，得到 $12+11+9+8=40$，所以四个比例加起来恰好为一。这种“各部分不重复，又一起覆盖整体”的关系，是饼图背后的结构。

图中用 $r$ 表示圆的半径，用 $S_{\text{步行}}$ 表示步行扇区的面积。下方的等式把人数、角度与面积这三种比例联系起来。

圆表示全部 40 人，扇形表示四个互不重叠的类别。人数、百分数、角度和面积表达的是同一份额。

先看图中步行扇区：它比四分之一圆大，因为 $30\mathrm{\%}>25\mathrm{\%}$；又远不到半圆，因为 $30\mathrm{\%}<50\mathrm{\%}$。其他三块仍使用同一个半径，不能把其中一块的半径单独加长来“强调”它，否则面积就不再只由份额决定。

为什么用人数比例乘以三百六十度

整圆有 $360^{\circ }$。若将它分成 40 个相同的小份，每份对应一人，那么每份的圆心角就是 $$\frac{360^{\circ }}{40}=9^{\circ }.$$ 步行有 12 人，把 12 个这样的角拼在一起便得到 $12\times 9^{\circ }=108^{\circ }$。同理，自行车对应 $11\times 9^{\circ }=99^{\circ }$，公交对应 $81^{\circ }$，轨道交通对应 $72^{\circ }$。

一般地，整体数量为 $N>0$，第 $i$ 类的数量为 $n_i\ge 0$，且各类数量之和为 $N$。定义份额 $p_i=n_i/N$，则 $${\theta }_i=360^{\circ }{p}_i=360^{\circ }\frac{n_i}{N}.$$ 因此 $$\sum _i{\theta }_i=360^{\circ }\frac{\sum _i{n}_i}{N}=360^{\circ }.$$ 这解释了为什么各扇形恰好拼成一整圆，而不是留下一块空白或彼此重叠。

面积也遵循同样的比例。半径为 $r$ 的整圆面积是 $\pi r^2$，圆心角为 ${\theta }_i$ 的扇形面积是 $$S_i=\frac{{\theta }_i}{360^{\circ }}\pi r^2=p_i\pi r^2.$$ 将扇形面积除以整圆面积，半径的影响消去，结果仍为 $p_i$。例如将图的半径取为 2 个长度单位，整圆面积为 $4\pi$，步行部分的面积为 $0.3\times 4\pi =1.2\pi$，两者之比仍为 30%。增大整张图只改变显示大小，不改变数据。

数量不一定是人数，也可以是某项预算内各支出的金额、一天内互不重叠的活动时长。但分子与分母必须使用同一种可相加的量；不能把“12 人”和“8 分钟”当成两个部分加进一个圆。数量全为零时没有可定义的份额；某一类为零时它没有可见扇区，可在标签或数据表中列出零。负数不能用普通扇形面积表示。

从图中读回人数、差值与比例

已知总人数为 40，若某扇区的角度是 $81^{\circ }$，可以反过来计算该类人数： $$n=40\times \frac{81^{\circ }}{360^{\circ }}=9.$$ 这里用的是准确角度。若手持量角器从屏幕截图测出“大约 $81^{\circ }$”，计算只能给近似人数；准确读数应以图上标签或原数据表为准。

合并公交与轨道交通两类，人数为 $9+8=17$，份额为 $17/40=42.5\mathrm{\%}$。图中将对应两块合看，面积之和也占整圆 42.5%。若问题改成“在这 17 人中，公交占多少”，分母就变为 17，答案为 $$\frac{9}{17}\approx 52.94\mathrm{\%}.$$ 原图的公交扇形标着 22.5%，因为原图分母是 40。两个答案回答了不同问题，不存在矛盾。

步行与轨道交通相差 4 人，份额相差 $30\mathrm{\%}-20\mathrm{\%}=10$ 个百分点。若说“步行人数比轨道交通多百分之几”，则应以轨道交通的 8 人为比较基准，计算 $(12-8)/8=50\mathrm{\%}$。差 10 个百分点与多 50% 不可混用。

相近的扇形为什么不容易比较

步行占 30%，自行车占 27.5%，只相差 2.5 个百分点。它们的圆心角差为 $$108^{\circ }-99^{\circ }=9^{\circ }.$$ 读者需要在朝向不同的位置比较两块扇形，这 9 度差别并不醒目。下面保留相同数据与颜色，将份额换成从零开始的横条。

同一组相近份额改画为条形图后，可以沿共同基线比较末端位置。横轴单位是百分数，仍以全部 40 人为分母。

从横条的共同起点看，步行比自行车多出的长度，对应的就是 2.5 个百分点。饼图突出“各部分合成整体”，条形图更方便比较类别之间的大小和差距；这不是要求所有比例数据都必须选同一种图。英国国家统计局：The humble pie chart

增加立体厚度并不会增加数据。立体饼图前侧常露出额外侧面，后侧则受到遮挡；读者看到的形状已不只是平面上的扇形，容易把位置带来的视觉差异当成数量差异。平面图直接保留圆心角、份额与面积之间的对应更清楚。圆环图去掉共同的中心圆后，各块圆环面积仍可与份额成正比，但看不见圆心角的顶点；类别很多或份额接近时，同样应考虑条形图。

多选、漏项与四舍五入怎样处理

若将问题改为“今天使用过哪些交通方式”，允许一个人勾选多个答案，就不再得到互不重叠的人群。例如同样是 40 人，假设步行、骑车、公交、轨道分别被勾选 18、14、15、10 次，合计有 57 次选择。除以 40 得到 45%、35%、37.5%、25%，总和是 142.5%。这并非必然算错，而是有些人被计入多类。

这种多选结果可以用各自表示“占受访者比例”的条形图展示。若将 18、14、15、10 强行归一化成一个圆，分母实际变成了 57，此时步行部分是 $18/57\approx 31.58\mathrm{\%}$，表示全部选择次数中的份额，不再表示参加者中步行者的比例。只有明确改问“57 次选择怎样分布”时，这个新圆才有相应含义。

若 40 人中有 3 人没有回答，也要先说明整体究竟是全部参加者还是 37 份有效回答。以前者为整体时，可单列“未回答”；以后者为整体时，图题应说明只统计有效回答。删去一类再把其余类重新放大到 100%，会改变读者看到的分母。

四舍五入则是另一个问题。三个类别各有 1 人，各占 $1/3$，准确角度都是 $120^{\circ }$；百分数保留一位小数后都是 33.3%，标签相加成为 99.9%。圆仍应按未舍入的份额画成三个相等扇形，并注明百分数经四舍五入可能不恰好合计 100%。不要用已经舍入的 33.3% 去计算三个角，造成不必要的缝隙。

这个圆能说明到哪里

本例饼图描述这 40 人的组成。它本身没有说明这 40 人如何选出，也没有证明整个城市有相同的到达方式比例。把样本份额推广到更大人群，需要调查设计与统计推断；把份额解释为某次随机试验的概率，也需要明确随机选择机制。

若关心每天到达方式怎样变化，可使用按时间排列的折线图或分组条形图；若关心到达时长的分布，应看直方图或箱线图；若关心路程与时长是否相关，应看散点图。图形的选择取决于问题，见统计图。

历史与参考资料

威廉·普莱费尔（William Playfair）在 1801 年出版的《统计摘要》（The Statistical Breviary）中使用了饼图。英国国家统计局介绍的例图将奥斯曼帝国的土地面积分成不同地域部分，展示了这种图形早期用于表达“部分占整体”的方式；多伦多大学珍本图书馆保留了该书的出版记录。ONS：图形历史介绍；University of Toronto：1801 年原书馆藏记录

• 加拿大统计局，Statistics: Power from Data!，5.4 Pie chart：部分与整体、角度换算和图形比较。
• 英国国家统计局，John Nixon，The humble pie chart，2017：相近份额比较、分类与平面表达。
• 相关概念：条形图、统计图、概率、统计推断。