李雅普诺夫函数

李雅普诺夫函数（Lyapunov function，亦译李亚普诺夫函数）是沿动力系统轨迹不增加的、在目标平衡点处取最小值的辅助标量函数。它把复杂的轨迹问题转化为一个函数的符号与导数问题，用于证明平衡点的稳定性、收敛性，或估计初始状态允许的范围。

机械能常能充当这种函数，但它不必具有能量单位，也不一定是到平衡点的普通距离。一个系统即使最终回到平衡，距离也可能先增后减；选择合适的加权“能量”，可以看出欧氏距离没有直接显示的单调关系。

稳定性与沿轨迹导数

考虑自治系统 $$\dot{x}=f(x),x\in D\subset {ℝ}^n,f(0)=0.$$ 设 $D$ 为包含原点的开集，$f$ 局部利普希茨连续，从而初值在局部确定唯一轨迹。原点是平衡点。若对每个足够小的 $\epsilon >0$ 都能选 $\delta >0$，使 $\Vert x(0)\Vert <\delta$ 的轨迹在所有正时间都满足 $\Vert x(t)\Vert <\epsilon$，称原点李雅普诺夫稳定。若它还吸引一个邻域内的轨迹，即 $x(t)\to 0$，则称渐近稳定。

设 $V:D\to ℝ$ 连续可微，$V(0)=0$、$V(x)>0$ 对所有非零 $x$ 成立，称 $V$ 正定。沿解使用链式法则， $$\dot{V}(x)=\mathrm{\nabla }V(x)\cdot f(x).$$ 点上的梯度和动力向量足以给出导数，无需先写出整条解。若 $\dot{V}\le 0$，则 $V$ 为一类常用的李雅普诺夫函数；有些文献把“李雅普诺夫函数”一词专用于更强的严格下降情形，使用时应注明导数条件。稳定性定义和直接法见 Dahleh 等人的教材。

次水平集保证稳定

局部直接法　若上述 $V$ 正定且在原点邻域满足 $\dot{V}\le 0$，则原点稳定；若还满足 $\dot{V}(x)<0$ 对邻域内一切非零点成立，则原点局部渐近稳定。第二个结论的完整证明需结合紧性和轨迹的长期性质；下面先证明稳定性的几何机制。

取半径为 $r$ 的闭球，使它位于 $D$ 内且包含在 $\dot{V}\le 0$ 成立的邻域中，且希望轨迹始终留在球内。球面紧、$V$ 连续正定，所以 $$m=\underset{\Vert x\Vert =r}{min}V(x)>0.$$ 由 $V(0)=0$ 的连续性，可以选 $0<\delta <r$，使初值距离小于 $\delta$ 时 $V(x(0))<m$。沿轨迹 $V$ 不增加，故不可能首次到达 $V\ge m$ 的球面。于是轨迹留在球内。再将 $r$ 选得小于给定 $\epsilon$，得到稳定性定义；局部存在的解也能因留在定义域内部的紧集而继续延拓。

这段证明的关键是次水平集 $\{x:V(x)\le c\}$ 形成不能向外穿出的屏障。它并未要求欧氏距离逐时下降。

线性系统的加权二次型

对 $\dot{x}=Ax$，尝试 $$V(x)=x^{𝖳}Px,P=P^{𝖳}>0.$$ 符号 $P>0$ 表示对每个非零实向量，$x^{𝖳}Px>0$。求导得 $$\dot{V}={\dot{x}}^{𝖳}Px+x^{𝖳}P\dot{x}=x^{𝖳}(A^{𝖳}P+PA)x.$$ 因此若能解出 $$A^{𝖳}P+PA=-Q,Q=Q^{𝖳}>0,$$ 便得到严格下降的二次型。这称为连续时间李雅普诺夫方程；它对未知矩阵 $P$ 的元素是线性的。若 $A$ 的全部特征值实部为负，对任意给定正定 $Q$ 都存在唯一正定解。教材给出的构造是 $P={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{A^{𝖳}t}Q{e}^{At}\mathrm{d}t$，积分收敛依赖系统的指数衰减。

取一组无量纲教学系统 $$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 0& -2\end{array}\right),Q=I_2.$$ 令 $P=\left(\begin{array}{cc}p& r\\ r& s\end{array}\right)$，逐项计算得到 $$A^{𝖳}P+PA=\left(\begin{array}{cc}-2p& 4p-3r\\ 4p-3r& 8r-4s\end{array}\right).$$ 与 $-I_2$ 比较，先有 $p=1/2$，再有 $r=2/3$，最后得 $s=19/12$，所以 $$P=\left(\begin{array}{cc}1/2& 2/3\\ 2/3& 19/12\end{array}\right).$$ 其首个顺序主子式为 $1/2>0$，行列式为 $25/72>0$，故正定。于是 $V=x^{𝖳}Px$ 沿所有轨迹满足 $\dot{V}=-x_1^2-x_2^2$。

等值线 xᵀPx=常数为倾斜椭圆。所示轨迹从 (1,1) 出发向原点收敛，虽然初期欧氏距离增大，仍不断进入更低的 V 等值线。

暂时远离与最终收敛

对初值 $x(0)=(1,1{)}^{𝖳}$，第二个方程先给出 $x_2=e^{-2t}$。再对 ${x_1}^{\prime }+x_1=4e^{-2t}$ 用参数变易法，得到 $$x_1=5e^{-t}-4e^{-2t},x_2=e^{-2t}.$$ 初始速度为 $(3,-2{)}^{𝖳}$，所以普通距离平方的导数为 $${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert x{\Vert }^2|}_{t=0}=2(1,1)\cdot (3,-2)=2>0.$$ 状态起初确实离原点更远。但加权函数满足 $V(0)=41/12$，$\dot{V}(0)=-2$，始终下降。数值上，欧氏距离从 $\sqrt{2}$ 增至约 $1.6180$ 后下降；单凭这段初始增长不能判定系统不稳定。

同一轨迹的欧氏距离比和 V 值比，均除以各自初始值。两种标量衡量的是不同的几何量；李雅普诺夫下降并不要求所有距离都单调下降。

本例还可以给出定量收敛保证。设 ${\lambda }_{min},{\lambda }_{max}$ 是 $P$ 的最小、最大特征值，则 $${\lambda }_{min}\Vert x{\Vert }^2\le V(x)\le {\lambda }_{max}\Vert x{\Vert }^2.$$ 因此 $\dot{V}=-\Vert x{\Vert }^2\le -V/{\lambda }_{max}$，积分后 $$V(x(t))\le V(x(0))e^{-t/{\lambda }_{max}},$$ $$\Vert x(t)\Vert \le \sqrt{\frac{{\lambda }_{max}}{{\lambda }_{min}}}{e}^{-t/(2{\lambda }_{max})}\Vert x(0)\Vert .$$ 本例 ${\lambda }_{min,max}=(25\mp 5\sqrt{17})/24$，约为 $0.1826863$ 和 $1.9006470$。这个界保证全局指数稳定，前面的常数因子也允许距离短时增长。一般非线性问题中，仅有 $\dot{V}\le -\alpha V$ 还不能不加比较条件就换成欧氏距离的指数估计；这里正定二次型提供了所需的上下界。

导数为零的集合与 LaSalle 原理

若 $\dot{V}\le 0$ 但并不严格为负，单凭下降性通常只能得到稳定，不能直接得到收敛。例如无阻尼振子 $${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=-x_1$$ 取 $V=(x_1^2+x_2^2)/2$，有 $\dot{V}=0$。非零轨迹沿圆周运动，永不到达原点。

加入阻尼，改为 ${\dot{x}}_2=-x_1-x_2$，同一函数的导数变为 $\dot{V}=-x_2^2$。导数在整条 $x_2=0$ 上为零，但除原点外，状态不能一直留在这条线上：此时 ${\dot{x}}_2=-x_1\ne 0$，轨迹会立即离开。

两系统均以 (1,0) 为初值。虚线圆对应 V 恒定的无阻尼系统；实线对应 Vdot=−x₂² 的有阻尼系统，零导数线上的非零点并非不变轨迹。

LaSalle 不变性原理把这一步说得更一般：在紧的正向不变集合中，若 $V$ 连续可微且 $\dot{V}\le 0$，轨迹趋近于 $\{\dot{V}=0\}$ 中最大的、不离开该集合的不变子集。这里“趋近”指到该集合的距离趋零。对有阻尼振子，能量次水平集紧且正向不变，最大不变子集只有原点，因而得到全局渐近稳定。相关定理与不变集解释见 Tedrake 的讲义。

严格下降不等于指数速度

标量系统 $\dot{x}=-x^3$ 可取 $V=x^2/2$，有 $\dot{V}=-x^4<0$（$x\ne 0$）。分离变量直接求得 $$x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^{2}t}}.$$ 所有初值均收敛到零，且不会离初始位置更远，所以原点全局渐近稳定。但对固定非零初值，衰减只有 $t^{-1/2}$ 的量级，不能用任意固定正指数速率在所有大时间内控制。严格负导数说明收敛方向，二次比较与导数相对函数本身的界才进一步决定收敛速度。

把局部结论推广到全空间时，还需保证轨迹不会逃向无穷或有限时间离开定义域。常用的充分条件是 $V(x)\to \mathrm{\infty }$ 随 $\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }$，使次水平集有界，再结合全空间上的正定性及下降条件。画出几条向内轨迹或采样检查导数，不能替代对整个声明区域的证明。