极大理想

极大理想是一个环中不能再严格扩大、又仍然保持为真理想的理想。以整数环为例，$2\mathbb{Z}$ 是极大理想，而 $6\mathbb{Z}$ 不是：所有六的倍数都是二的倍数，并且 $2\mathbb{Z}$ 仍不等于整个 $\mathbb{Z}$。

整数环中 6Z 包含于 2Z；商环 Z/2Z 是域，Z/6Z 中 2 与 3 是非零零因子。

定义与商环

以下设 $R$ 是具有单位元 $1\ne 0$ 的交换环。理想 $𝔪⊊R$ 称为极大理想，如果任何理想 $I$ 满足 $𝔪\subseteq I\subseteq R$ 时，必有 $I=𝔪$ 或 $I=R$。

极大性可以通过商环判断： $$𝔪\text{ 是极大理想}⟺R/𝔪\text{ 是域}.$$ 其中 $R/𝔪$ 的元素是剩余类 $r+𝔪$。

先设 $𝔪$ 极大，取商环中任意非零元素 $a+𝔪$，即 $a\notin 𝔪$。包含 $𝔪$ 和 $a$ 的理想 $𝔪+(a)$ 严格大于 $𝔪$，故等于 $R$。于是存在 $u\in 𝔪,r\in R$ 使 $1=u+ra$，取剩余类即 $(r+𝔪)(a+𝔪)=1+𝔪$。所以商环每个非零元素均可逆，是域。

反过来，若商环是域，且 $𝔪⊊I$，取 $a\in I\setminus 𝔪$。$a+𝔪$ 在商环中可逆，故某个 $r$ 满足 $ra-1\in 𝔪\subseteq I$。又 $ra\in I$，因此 $1\in I$，进而 $I=R$，证明极大性。

整数环中的计算

整数环的每个理想都是 $n\mathbb{Z}$。当 $p$ 是素数，商环 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域，故 $p\mathbb{Z}$ 极大。另一方面，$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中 $2,3$ 的剩余类都非零，但乘积为零，因此它不是域；相应地 $6\mathbb{Z}⊊2\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}$。

这个判据还说明极大理想必为素理想，因为域没有非零零因子；反过来一般不成立。例如 $(0)$ 是整数环的素理想，但商环 $\mathbb{Z}$ 不是域，所以它不是极大理想。非交换环对左、右及双边理想的极大性和商环性质需分别讨论，上述域判据使用了交换条件。