盒维数

盒维数（box-counting dimension，也称 Minkowski 维数）用同一小尺度的盒覆盖一个有界集合，观察所需盒数随尺度缩小的增长率。若尺度约缩小为原来的三分之一，覆盖数约翻倍，候选维数是 $\log 2/\log 3$；准确结论还要控制所有足够小的尺度，而非只拟合有限几个点。

下文在实数轴上用闭区间作盒。主例先计算 Cantor 集，再计算紧可数集 $E=\{0\}\cup \{1/n:n\in \mathbb{N},n\ge 1\}$。后一个集合的盒维数为二分之一，尽管其豪斯多夫维数为零，显示了统一尺度计数与可变尺度覆盖的区别。

覆盖数与下、上极限

设 $F\subset ℝ$ 非空且有界，$\epsilon >0$。记 $N_{\epsilon }(F)$ 为覆盖 $F$ 所需长度为 $\epsilon$ 的闭区间的最小个数；区间的位置可以自由选择。有界性保证存在有限覆盖，非空性保证 $N_{\epsilon }(F)\ge 1$。下面的维数比值取 $0<\epsilon <1$，使分母为正。

定义下盒维数与上盒维数为 $${\underset{\_}{\dim }}_{B}F=\underset{\epsilon \downarrow 0}{lim\; inf}\frac{\log N_{\epsilon }(F)}{\log (1/\epsilon )},{\bar{\dim }}_{B}F=\underset{\epsilon \downarrow 0}{lim\; sup}\frac{\log N_{\epsilon }(F)}{\log (1/\epsilon )}.$$ 若二者相等，就称其共同值为盒维数 ${\dim }_{B}F$。对数可取任意固定底数，因为分子分母同时换底。下极限记录所有趋零尺度中可反复出现的较小增长率，上极限记录较大增长率；一般集合的增长可能在不同尺度间振荡，所以定义不能预先假定普通极限存在。

在 ${ℝ}^m$ 中可用边长 $\epsilon$ 的轴平行闭立方体，得到同样的定义。本文的实数轴情形正是 $m=1$。以球半径、集合直径或固定网格计数时，覆盖数不必逐个相等；需要先比较尺度与常数，再说明维数相同。

Cantor 集的精确尺度计数

令 $C$ 为三分 Cantor 集。它的第 $n$ 级由 $2^n$ 个长度 $3^{-n}$ 的基本区间组成，所以 $$N_{3^{-n}}(C)\le 2^n.$$ 下界从分离点得到：每个基本区间的左端点都在 $C$ 中，任意相邻的两个左端点相距至少 $2\cdot 3^{-n}$。一个长度 $3^{-n}$ 的闭区间装不下两个这样的点，因此至少需要 $2^n$ 个区间。两个界合起来给出 $$N_{3^{-n}}(C)=2^n.$$

四个基本区间给覆盖上界，四个彼此分离的点给覆盖下界。两种理由共同证明本尺度恰好需要四个区间。

例如尺度 $1/3,1/9,1/27$ 分别需要 $2,4,8$ 个区间，故每次比值都是 $\log 2/\log 3$。还须处理这些尺度之间的值。给任意足够小的 $\epsilon$，选 $n\ge 1$ 使 $3^{-(n+1)}<\epsilon \le 3^{-n}$。覆盖数随尺度缩小不减，因而 $$2^n\le N_{\epsilon }(C)\le 2^{n+1}.$$ 同时 $n\log 3\le \log (1/\epsilon )<(n+1)\log 3$，从而 $$\frac{n\log 2}{(n+1)\log 3}\le \frac{\log N_{\epsilon }(C)}{\log (1/\epsilon )}\le \frac{(n+1)\log 2}{n\log 3}.$$ 两端都趋向 $\log 2/\log 3$，证明上下盒维数相等。把离散尺度的计数延伸到任意中间尺度，是这个极限证明的一部分。

倒数序列的头尾分解上界

现在考虑 $E=\{0\}\cup \{1/n:n\ge 1\}$。它有界，唯一可能的聚点零已包含在内，所以是紧集。它的点在零附近越来越密，不能在一个固定尺度下永远把每一点视为单独一盒。

给 $0<\epsilon <1$，取整数 $M=\lceil {\epsilon }^{-1/2}\rceil$。先给前 $M$ 个点 $1,1/2,\dots ,1/M$ 各一个区间。其余全部落在短区间 $[0,1/(M+1)]$，覆盖这个尾部需要不超过 $\lceil 1/((M+1)\epsilon )\rceil$ 个区间。因此 $$N_{\epsilon }(E)\le M+\lceil \frac{1}{(M+1)\epsilon }\rceil \le 2{\epsilon }^{-1/2}+2\le 4{\epsilon }^{-1/2}.$$ 中间的不等式用了 $M\le {\epsilon }^{-1/2}+1$ 和 $M+1\ge {\epsilon }^{-1/2}$。指数二分之一来自同时平衡“单独处理的点数”与“剩余尾部长度除以盒宽”。

本例取 M=10。上图显示头尾位置，下图放大尾部覆盖；总数至多10+10=20，这是一个构造上界，并非最小覆盖数的断言。

在可手算尺度 $\epsilon =1/100$ 上，$M=10$，尾部长度 $1/11$；$\lceil 100/11\rceil =10$，所以 $N_{1/100}(E)\le 20$。尾部盒允许伸出集合所在的小区间，这不影响覆盖合法性。

分离点给出的匹配下界

为了排除远少于 ${\epsilon }^{-1/2}$ 个盒的覆盖，取 $0<\epsilon \le 1/16$，令 $$L=\lfloor \frac{1}{2\sqrt{\epsilon }}\rfloor \ge 2.$$ 前 $L$ 个倒数点的最小间距出现在最后两个点之间，为 $$\frac{1}{L-1}-\frac{1}{L}=\frac{1}{L(L-1)}>\frac{1}{L^2}\ge 4\epsilon >\epsilon .$$ 所以一个长度 $\epsilon$ 的区间最多覆盖这批点中的一个，$N_{\epsilon }(E)\ge L$。由于 $\lfloor a\rfloor \ge a/2$ 对 $a\ge 2$ 成立，进一步有 $$N_{\epsilon }(E)\ge \frac{1}{4\sqrt{\epsilon }}.$$

不同点必须用不同盒。最近间距为盒宽的五倍，因此至少需要五盒；这与头尾构造的二十盒上界共同展示同一尺度的两面估计。

结合上界，在全部充分小的尺度上有 $$\frac{1}{4}{\epsilon }^{-1/2}\le N_{\epsilon }(E)\le 4{\epsilon }^{-1/2}.$$ 取对数并除以 $\log (1/\epsilon )$，两端分别为 $1/2-\log 4/\log (1/\epsilon )$ 和 $1/2+\log 4/\log (1/\epsilon )$。误差项趋零，故 $${\underset{\_}{\dim }}_{B}E={\bar{\dim }}_{B}E=\frac{1}{2}.$$ 与 Cantor 集不同，这个集合可数，豪斯多夫维数为零。可数集可以给不同点安排总成本任意小的不同尺度覆盖；盒维数则先固定同一个尺度，零附近的密集尾部仍贡献增长的覆盖数。

变式。 将倒数点改为几何序列，令 $G=\{0\}\cup \{2^{-n}:n\ge 1\}$。取 $M=\lceil {\log }_2(1/\epsilon )\rceil$，前 $M$ 个点各用一盒，剩余尾部包含在 $[0,2^{-M}]\subseteq [0,\epsilon ]$ 中，只需一盒。因此 $1\le N_{\epsilon }(G)\le M+1$。由于 $\log (M+1)/\log (1/\epsilon )\to 0$，上下盒维数都为零。同样是向零聚集，聚集速度改变了计数的指数。

固定网格与有限尺度拟合

实际图像常用固定网格。令 $M_{\epsilon }(F)$ 为与 $F$ 相交的半开网格区间 $[k\epsilon ,(k+1)\epsilon )$ 的个数，$k\in \mathbb{Z}$。网格区间的闭包给一组合法覆盖，所以 $N_{\epsilon }(F)\le M_{\epsilon }(F)$。另一方面，一个长度 $\epsilon$ 的闭区间最多遇到两个半开网格区间，因此 $$N_{\epsilon }(F)\le M_{\epsilon }(F)\le 2N_{\epsilon }(F).$$ 例如尺度三分之一时，Cantor集的自由位置覆盖数为二，而半开网格计数为四，后者还分别计入基本区间右端点所在的下一格。两种计数的对数相差至多 $\log 2$，除以趋于无穷的 $\log (1/\epsilon )$ 后差别消失。在 ${ℝ}^m$ 的同类立方体网格中，常数二相应换为 $2^m$。这说明极限维数相同，没有声称有限尺度计数相等。

在有限几组尺度上拟合 $\log N_{\epsilon }$ 对 $\log (1/\epsilon )$ 的直线，只给一个尺度范围内的斜率。若只观察有限样本 $\{0,1,1/2,\dots ,1/K\}$，当尺度小于最小点距时，盒数恒为 $K+1$，其真正盒维数为零；它仍可能在较粗尺度上模仿无限倒数序列。有限分辨率、截断点数和所用计数约定，应与拟合斜率一同报告。上面的维数二分之一依赖覆盖所有足够小尺度的双边证明。