线性二次高斯控制

线性二次高斯控制，简称LQG控制，解决一类只能通过带噪声测量来控制线性系统的问题：状态按线性方程演化，性能用状态与控制量的二次代价衡量，初始状态及噪声满足高斯条件。它把卡尔曼状态估计和线性二次调节器结合起来。

例如，控制器要把一个位置保持在零附近，但传感器读数有误差，物体又受到随机扰动。直接把每次读数当作真实位置，会把测量噪声也当成需要立即纠正的运动。LQG先根据模型与历史测量估计状态，再据此选择控制。本条采用离散时间模型，明确“收到当前测量后再施加控制”的时序。

模型与性能指标

设 $$\begin{array}{cc}{x}_{k+1}& =A{x}_k+B{u}_k+w_k,\\ y_k& =C{x}_k+v_k.\end{array}$$ 其中 $x_k$ 是状态，$u_k$ 是控制，$y_k$ 是可观测输出。过程噪声 $w_k$ 和测量噪声 $v_k$ 均为零均值高斯向量，协方差分别为 $W⪰0$、$V\succ 0$。不同时间的噪声、两类噪声及高斯初始状态彼此独立。控制只能使用截至当前的测量和已施加控制，不能使用未来读数。

有限时域代价为 $$\begin{array}{cc}J& =𝔼[x_N^{𝖳}{P}_N{x}_N]\\ & +\sum _{k=0}^{N-1}𝔼[x_k^{𝖳}Q{x}_k+u_k^{𝖳}R{u}_k].\end{array}$$ 其中 $P_N,Q⪰0$、$R\succ 0$。较大 $Q$ 强调状态偏差，较大 $R$ 强调节省控制。矩阵权重还涉及量纲，不能在未统一单位时只比较数值大小。

独立高斯条件保证条件状态分布可用均值、协方差完整描述。没有高斯性时，同样的线性滤波仍有线性最小均方估计意义，但未必等于全部非线性估计器中的最优条件均值。卡尔曼递推与LQG分离定理的推导可参见Yang的课程第6章。

估计、控制与预测的次序

记收到 $y_k$ 之前的预测为 ${\hat{x}}_k^{-}$、预测误差协方差为 ${\Sigma }_k^{-}$。初始预测取初始状态的均值与协方差。收到测量后，用创新量 $$r_k=y_k-C{\hat{x}}_k^{-}$$ 更新： $$\begin{array}{cc}{S}_k& =C{\Sigma }_k^{-}{C}^{𝖳}+V,\\ L_k& ={\Sigma }_k^{-}{C}^{𝖳}{S}_k^{-1},\\ {\hat{x}}_k& ={\hat{x}}_k^{-}+L_k{r}_k,\\ {\Sigma }_k& =(I-L_{k}C){\Sigma }_k^{-}.\end{array}$$ 这里的 ${\hat{x}}_k$ 是给定当前全部信息的条件均值。创新协方差中的 $V\succ 0$ 保证所需逆矩阵存在。数值实现可使用Joseph形式保持协方差的对称半正定性： $$\begin{array}{cc}{\Sigma }_k& =(I-L_{k}C){\Sigma }_k^{-}(I-L_{k}C{)}^{𝖳}\\ & +L_{k}V{L}_k^{𝖳}.\end{array}$$

控制器计算 $u_k=-K_k{\hat{x}}_k$ 并施加，再预测下一时刻： $$\begin{array}{cc}{\hat{x}}_{k+1}^{-}& =A{\hat{x}}_k+B{u}_k,\\ {\Sigma }_{k+1}^{-}& =A{\Sigma }_k{A}^{𝖳}+W.\end{array}$$ 控制项是已知输入，必须进入状态预测；它不作为额外独立噪声加进协方差。下一次测量 $y_{k+1}$ 尚未取得，不能提前用于 $u_k$。

二次代价的配方与分离原理

控制增益由终端矩阵 $P_N$ 开始，按时间倒序计算。置 $$\begin{array}{cc}{M}_k& =R+B^{𝖳}{P}_{k+1}B,\\ K_k& =M_k^{-1}{B}^{𝖳}{P}_{k+1}A,\\ P_k& =Q+A^{𝖳}{P}_{k+1}A\\ & -A^{𝖳}{P}_{k+1}B{K}_k.\end{array}$$ 因为 $R\succ 0$，所以 $M_k\succ 0$。这一递推与完全知道状态时的LQR递推相同。

配方的关键。 固定当前状态与控制，记 $$\begin{array}{cc}{F}_k(x,u)& =x^{𝖳}Qx+u^{𝖳}Ru\\ & +(Ax+Bu{)}^{𝖳}{P}_{k+1}(Ax+Bu).\end{array}$$ 展开并配方得到 $$\begin{array}{cc}{F}_k(x,u)& =x^{𝖳}{P}_{k}x\\ & +(u+K_{k}x{)}^{𝖳}{M}_k(u+K_{k}x).\end{array}$$ 噪声取条件期望后另加 $\mathrm{tr}(P_{k+1}W)$，它不依赖当前控制。再写 $x_k={\hat{x}}_k+e_k$，由条件均值性质，给定当前信息时 $𝔼[e_k]=0$。因此 令 $z_k=u_k+K_k{\hat{x}}_k$、${\delta }_k=z_k+K_k{e}_k$，则 $$\begin{array}{cc}& 𝔼[{\delta }_k^{𝖳}{M}_k{\delta }_k\mid Y_k]\\ & =z_k^{𝖳}{M}_k{z}_k+\mathrm{tr}(K_k^{𝖳}{M}_k{K}_k{\Sigma }_k).\end{array}$$ 其中 $Y_k$ 表示当前可用的信息。标准模型中的误差协方差递推不依赖实际控制值，故最后的迹项不能靠改变当前控制来降低。把前一个配方沿时间相加，状态二次项相消，余下可控的非负二次项均在 $$u_k^{\ast }=-K_k{\hat{x}}_k$$ 时达到最小。这解释了分离：估计器按噪声统计设计，控制增益按动力学与代价设计，二者通过估计状态连接。

“分离”不表示控制与测量互不影响，也不表示忽略估计误差不会增加代价。误差对应的迹项仍是真实损失；它只是在这里的假设下不改变反馈增益的形式。

标量稳态算例

取 $A=B=C=1$，并令 $Q=R=W=V=1$。控制的稳态黎卡提方程是 $$P=1+P-\frac{P^2}{1+P}.$$ 整理得 $P^2-P-1=0$，取正解 $$P=\frac{1+\sqrt{5}}{2},K=\frac{P}{1+P}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$ 预测误差方差 $S={\Sigma }^{-}$ 满足 $$S=1+S-\frac{S^2}{1+S},$$ 所以 $S=P$，测量更新增益 $L=S/(1+S)=K\approx 0.6180$，更新后方差 $\Sigma =S/(1+S)\approx 0.6180$。这些数值碰巧相同，是本例参数对称所致，不能把控制矩阵与协方差矩阵混为同一个对象。

例如，当前预测为二，测量为一，更新后估计为 $$\hat{x}=2+L(1-2)=2-L\approx \mathrm{1.3820.}$$ 随后的控制为 $u=-K\hat{x}\approx -0.8541$，下一步预测为 $\hat{x}+u\approx 0.5279$。

每个数都按先测量更新、后控制、再预测的次序计算。下一步真实状态还会受到新的过程噪声影响。

测量噪声变大的变式

只把 $V$ 从一改为四，控制增益 $K$ 不变。预测方差满足 $$S=1+\frac{4S}{S+4},S^2-S-4=0,$$ 故 $S=(1+\sqrt{17})/2\approx 2.5616$，滤波增益 $L=S/(S+4)\approx 0.3904$。传感器更不可靠时，估计更新较少向单次测量移动；估计精度与实现的平均代价会变差，不能据控制增益不变就说性能完全不变。

稳定性与随机稳态

固定稳态增益，并记更新后误差 $e_k=x_k-{\hat{x}}_k$。代入状态与估计递推可得 $$\begin{array}{cc}{x}_{k+1}& =(A-BK)x_k+BK{e}_k+w_k,\\ e_{k+1}& =(I-LC)A{e}_k\\ & +(I-LC)w_k-L{v}_{k+1}.\end{array}$$ 确定性部分是分块上三角矩阵，其特征值为 $A-BK$ 与 $(I-LC)A$ 的特征值的并。注意它一般不是分块对角矩阵，状态仍受到估计误差驱动。

本例两个因子均为 $(3-\sqrt{5})/2\approx 0.3820$，绝对值小于一。去掉噪声、从状态一与估计零出发，可以直接迭代检验衰减。

这是检验名义闭环稳定性的确定性响应。持续有噪声时应讨论误差方差和稳态分布，而不是要求每条状态轨迹都趋于零。

稳态解的稳定分支需要额外条件。例如 $Q,W$ 均正定时，配合 $(A,B)$ 可稳定、$(A,C)$ 可检测，是常用的充分条件；半正定情形还需检查相应的代价与噪声通道条件。参见可稳定性、可检测性与代数黎卡提方程。

持续噪声下一般有正的长期每步代价，未折扣的无限总和通常发散。稳态长期最优性应使用平均代价、折扣代价等明确准则，不能把有限时域最优与“无限总成本有限”混同。模型误差、输入饱和、相关噪声或非高斯异常值还会改变保证；LQG的名义随机最优性也不自动给出对所有模型误差的鲁棒性。