三角形相似

两个三角形相似，是指对应角相等、对应边按同一个正比例缩放。若 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DEF$，可写 $$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k.$$ 系数 $k$ 要与对应顺序一致。相似允许整体变大或变小；当 $k=1$ 时才进一步全等。

两角相等已经足够

平面三角形内角和为 $180^{\circ }$，所以两对对应角相等会迫使第三对也相等。再由平行线截得的对应边成比例，得到 AA 相似判定。另一种常用条件是两组对应边成同一比例且夹角相等（SAS 相似）；三边同比例（SSS 相似）也成立。只比较一组边的比例，不能确定整个形状。

测高是一个可复算的例子：一根 1.5 米的直杆在同一时刻留下 2 米影子，旁边一棵树的影子长 8 米。假设阳光在局部可视作平行光线，两物体都竖直立在水平地面上，则高与影长构成相似直角三角形，树高 $h$ 满足 $h/8=1.5/2$，得 $h=6$ 米。若地面有坡度或两影子不在同一光照条件，比例模型需调整。

面积为什么按平方变

相似变换把每条长度乘以 $k$，底和对应高也都乘以 $k$，所以面积乘以 $k^2$。例如一幅三角形图按 3 倍放大，周长变为 3 倍，面积变为 9 倍。把面积也乘 3 会漏掉高度的缩放。

参考资料

• OpenStax，Contemporary Mathematics，§10.3 Triangles。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：三角形全等、角平分线定理、比与比例。