输出反馈

输出反馈（output feedback）使用可测量的输出信号而非完整真实状态来计算输入。静态输出反馈只依赖当前输出，动态输出反馈还维护控制器的内部状态，从历史观测中积累信息。两者的可设计范围不同。

只测位置时缺少速度

考虑 $\dot{q}=v,\dot{v}=u$，输出 $y=q$。若采用静态比例输出反馈 $u=-ky$，闭环为 $\ddot{q}+kq=0$。$k>0$ 时作无阻尼振荡，$k=0$ 留下积分模态，$k<0$ 则有增长模态，因此任何实数静态增益都不能使原点渐近稳定。

同一系统却能用状态反馈 $u=-2q-3v$ 稳定。这并不矛盾：速度对制动有用，而当前一个位置读数不足以决定速度。动态输出反馈可以用一段位置记录估计速度。

观测器组成动态控制器

取龙伯格观测器增益 $L=(5,6{)}^{𝖳}$，令 $$\dot{\hat{q}}=\hat{v}+5(y-\hat{q}),\dot{\hat{v}}=u+6(y-\hat{q}),u=-2\hat{q}-3\hat{v}.$$ 该控制器只接收测量 $y$，内部保存 $(\hat{q},\hat{v})$。在正确线性无噪模型下，估计误差 $e=x-\hat{x}$ 的极点为 $-2,-3$，真实状态反馈块的极点为 $-1,-2$。

一般地，$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$，使用 $u=-K\hat{x}$、$\dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x})$，将状态和误差堆叠得到 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-BK& BK\\ 0& A-LC\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ e\end{array}\right).$$ 块上三角矩阵的特征行列式是两个对角块特征行列式的乘积。因此这两个块都稳定，整个名义闭环便稳定；重复出现的极点也仍在左半平面。这给出了动态输出反馈的一个可验证构造，而不是把估计值假定成从一开始就等于真实值。

两种方法使用相同的位置测量。动态控制器通过内部估计状态补足速度信息；图示采用真实初态(1,0)、估计初态零。

可稳定与可检测的组合

存在稳定化的状态反馈需要 $(A,B)$ 可稳定，存在稳定误差观测器需要 $(C,A)$ 可检测。两者结合给出有限维线性系统动态输出稳定化的一条设计路径。静态输出增益 $F$ 只能改变矩阵 $A-BFC$，没有观测器状态，不能把全部状态反馈增益都当作可自由选择。

变式。 若传感器改成同时测量 $y=(q,v{)}^{𝖳}$，则 $C=I$，静态输出反馈就能够直接实现 $u=-2y_1-3y_2$，不再需要估计器。反过来，如果存在不可检测的增长模态，再复杂的正确模型观测器也无法从完全相同的输出中识别它。

测量噪声、模型误差、时延与执行器饱和会破坏上述理想分解的适用前提。控制器极点很快可能增大噪声影响；名义内部稳定也不等于对全部扰动模型都具有鲁棒性能。应在实际可获得的信息和输入范围下评价设计。