重尾分布

重尾分布描述右侧极端值衰减较慢的概率分布。一种常见的严格约定是：对每个 $t>0$，都有 $𝔼[e^{tX}]=\mathrm{\infty }$。若某个 $t>0$ 使该期望有限，则称右尾为轻尾。不同文献使用的尾部分类不完全相同，因此使用术语时应说明定义。

帕累托与指数尾

假设 $X\ge 1$，且 $Pr(X>x)=x^{-2}$（$x\ge 1$）。其密度为 $2x^{-3}$。对任意 $t>0$，因为 $e^{tx}/x^3\to \mathrm{\infty }$，积分 ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}2e^{tx}{x}^{-3}dx$ 发散，所以 $X$ 在上述意义下为重尾。

与之比较，令 $Y\ge 0$ 服从均值为一的指数分布。其尾函数为 $e^{-x}$，且 $$𝔼[e^{tY}]={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{ty}{e}^{-y}dy=\frac{1}{1-t},t<1.$$ 例如 $t=1/2$ 时期望为二，因此指数分布在这个定义下为轻尾。两者尾概率在 $x=10$ 时分别为 $0.01$ 与约 $0.0000454$；只是均值是否存在，并不能完整反映极端损失的差别。

两条曲线在高阈值处的差异：幂律尾与指数尾。图为示例，不表示所有重尾都是幂律。

指数矩和矩的区别

对任何 $t>0$ 和非负 $x$，指数级数给出 $e^{tx}\ge (tx{)}^k/k!$。因此，若某个正指数矩有限，则所有非负整数阶的正部矩都有限。逆命题不成立：标准正态变量 $Z$ 的对数正态变换 $X=e^Z$ 满足 $𝔼[X^k]=e^{k^2/2}$，每个整数阶矩都有限，但任意 $t>0$ 的 $𝔼[e^{tX}]$ 都发散。后一结论可看正态密度积分：当 $z\to \mathrm{\infty }$，指数项 $t{e}^z-z^2/2$ 趋于无穷大，积分无有限值。

重右尾不等同于无限均值。上面的形状参数二的帕累托变量均值为二，而二阶矩发散。重左尾则要对 $-X$ 使用相应条件；双侧尾部的研究也应分别说明方向。正则变化和次指数分布是更具体的尾部类别，不能把“重尾”“幂律”和“次指数”当成完全相同的定义。

数据解释

在有限数据里少数极大值既可能来自真实重尾，也可能来自不同总体混合、测量误差或模型失配。拟合时须说明尾部阈值、候选模型和不确定性；看到双对数图局部近似直线，不能直接证明无穷远处的幂律极限。