动态系统建模

动态系统建模研究一个状态怎样随时间演化。这里的“状态”可能是水箱里的水量、一根弦的位移，也可能是机器处于运行状态的概率。建立模型时，先说明用哪些量描述现在，再说明这些量怎样决定接下来的变化。

例如，同样研究温度，问题不同，方程也会不同。只关心一杯水的平均温度，可以把它当作一个随时间变化的数；想知道金属棒哪里更热，就要保留位置；控制器读取的是两分钟前的温度，还必须保留过去一段时间；若要解释重复实验为什么不同，则需要描述随机扰动。增加变量的理由，应当来自要回答的问题。

本页把这些选择连接成学习路线。每条路线都可以先完成一个可手算的例子，再进入一般定义与定理。开始前宜掌握函数、导数与积分；涉及多分量状态时补充矩阵与线性代数，进入随机模型时补充概率与概率分布。

先把“知道现在”说清楚

在最简单的确定性自治模型中，状态 $x (t)$ 的变化率只由当前状态决定：

$\frac{d x}{d t} = f (x) .$

若两个实验在某一时刻拥有相同的完整状态，又遵循相同规律，在满足解唯一性的条件下，它们随后的轨迹就应相同。这个要求常常能揭示漏掉的变量。振子仅有当前位置还不够：位移相同而速度相反，接下来的运动也相反，所以状态应包含位移与速度。时滞系统更进一步，需要一段历史函数，不能只用一个当前数值。

五行分别用离散点、连续曲线、空间温度曲线、历史区间与多条随机路径表示差分、常微分、偏微分、时滞和随机微分模型 — 五种状态描述各自保留不同的信息。右侧是结构示意，各行的坐标与尺度不作数值比较。

按期更新：从水量递推到周期变化

离散时间路线

先手算每月水量，再跟踪偏差；加入第二期记忆后，观察不同衰减模式；最后比较同一非线性更新规则怎样产生定点与周期。

差分方程模型 → 平衡点与稳定性 → 二阶线性差分方程 → 洛吉斯蒂映射

一步更新 $x_{n + 1} = F (x_{n})$ 中， $F$ 给的是下一期状态。平衡满足 $F (x_{*}) = x_{*}$ ，不是 $F (x_{*}) = 0$ 。若偏差每期乘以 $- 0.6$ ，它虽然左右交替，幅度仍在缩小；乘以 $- 1.2$ 则会放大。先分清这两个例子，再理解多维系统的特征值判据。

完成这条路线，应能从两个初值求出二阶递推的系数，解释不同根对应的变化形态，并从蛛网图读出下一次迭代。洛吉斯蒂模型是连续增长模型，洛吉斯蒂映射是离散迭代；两者名称相近，动态性质不能相互套用。

连续变化：从一条时间曲线到整张相图

连续时间路线

从可解的一阶方程开始，学会找平衡、画相轨迹，再用线性化判断附近变化；用振子、种群与传播模型比较不同机制。

微分方程 → 一阶线性微分方程 → 洛吉斯蒂模型 → 平衡点与稳定性 → 相平面 → 线性化与雅可比矩阵

一条时间曲线回答“这个初值会怎样”，相图则把许多初值的运动放在一起。圆周轨道、向内螺旋和鞍点附近的轨迹，看起来不同，是因为距离、方向或增长模式不同。弹簧振子模型用受力与能量解释这些图形；捕食者-猎物模型说明两个状态相互作用时，封闭轨道与资源约束下的衰减振荡为何不同。

接着读SIR模型，把人群转移写成流量。总人数守恒、感染人数何时增长、峰值何时出现，是三个相关却不同的问题。模型中的合成参数帮助理解推导，不代表对某次真实疫情的拟合。

参数、记忆与算法各会改变什么

固定方程求一个解之后，还可以提出三种不同的问题。

改变参数。分岔从带恒定移除的增长模型出发，解释两个平衡怎样相遇并消失，再比较稳定性交换、对称破缺与周期轨道的出现。图中横轴是参数，不能把分岔图误当作时间曲线。
保留历史。时滞微分方程用温控反馈说明：相同的当前温差，不同的过去温差，会产生不同的下一步变化。分步法把“需要历史”落实为逐段计算。
把连续方程交给计算机。微分方程数值解从切线近似推导欧拉法，再比较中点法与四阶 Runge–Kutta 法。步长造成的假振荡属于算法问题；不能据此判断原系统也在振荡。

完成这些内容，应能分别说清模型的稳定性、参数变化导致的结构变化，以及计算方法的稳定性。它们回答的并不是同一个问题。

保留位置：从局部收支推导场方程

空间变化路线

先区分固定位置的时间变化与某一时刻的空间变化，再用小段区域的收支建立方程，最后比较扩散、振动与交通拥堵传播。

偏微分方程 → 热方程 → 波动方程 → 交通流模型

温度场 $u (x, t)$ 同时依赖位置与时间。热方程把导热通量与能量收支相连：内部的热量重新分配，边界又决定能量能否离开。波动方程从弦的受力推导传播速度，展示初始形状怎样向两侧传播，以及固定端怎样形成驻波。

交通流模型仍从守恒开始，但流量与密度的非线性关系会让平滑解发展出间断。车辆向前开，拥堵前沿却可能向后移动；车辆速度、特征速度和激波速度必须分开计算。学习这部分时，给每个量补上单位，比先背一张方程分类表更有帮助。

保留不确定性：从状态切换到随机轨迹

随机演化路线

先区分一条样本路径和固定时刻的分布，再研究离散状态的切换；随后把随机游走缩放成布朗运动，建立含噪声的连续反馈模型。

概率分布 → 随机过程 → 马尔可夫链 → 布朗运动 → 随机微分方程

马尔可夫链中的机器可以不断在运行与维修之间切换，同时“处于运行状态的概率”逐渐稳定。概率稳定并不表示每台机器停止变化。布朗运动进一步展示连续时间中的随机路径：每个固定时刻有正态分布，不同时刻却不能随意独立抽取。

随机微分方程把恢复力与随机扰动放在同一模型中，推导温差的均值、方差和长期分布。数值部分说明噪声增量为何按步长的平方根缩放，以及一个计算方法为什么可能把均值算得合理、却把长期方差算大。

用一个完整案例检查学会了什么

可以选择温度问题依次完成下面的练习。每一步都先声明新增假设；不要求把所有方程强行拼成一个模型。

用一阶线性微分方程描述平均温差，检查解是否满足初值和单位。
为控制器加入两分钟延迟，照时滞微分方程的例子算出前两段解，解释仅给当前温差为何不够。
若关心棒上不同位置的温度，用热方程写出初值和两端条件，检查总能量是否应守恒。
若关心重复实验的差别，用随机微分方程分别计算平均温差和方差，说明图中的区间覆盖的是哪个固定时刻的分布。
数值作图后减半步长，并与一个解析解或守恒关系比较。计算吻合支持的是求解过程；是否解释真实实验，仍需未参与定参数的数据。

这些路线的共同起点是数学建模：问题、状态、假设、方程、计算与检验彼此相连。对一个模型，能解释“为什么这样写”与“怎样检查”，比只得到一条漂亮曲线更接近真正掌握它。

参考资料

Sandip Banerjee，Mathematical Modeling: Models, Analysis and Applications，CRC Press，2014。可作为离散、连续、空间、时滞与随机模型的系统阅读背景；本站按概念重新组织内容，具体推导与案例见各词条。
Jiří Lebl：Notes on Diffy Qs，常微分方程、定性分析及偏微分方程入门。
Jeffrey R. Chasnov：Mathematical Biology，种群、相互作用及传播模型。
Desmond J. Higham：An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations，布朗运动与随机数值方法。