统计图

统计图（statistical graphics）把数据中的数量、次序或关系映射为点的位置、线的走向、条的长度或区域的面积。看懂一张统计图，需要知道这些视觉特征分别代表什么，也需要知道数据是怎样取得的。

拿到一张有四十行记录的表格，先不要急着挑颜色。每行是一名参加者、一次测量，还是一天的合计？你要比较人数、观察数值分布，还是研究两个量怎样一起变化？这些问题决定图的结构。把图选对以后，计算和解释才有共同的依据。

先弄清一行数据代表什么

假设一次活动记录了四十名参加者当天到场的情况。下面是这份合成教学数据可能采用的记录格式；它说明应怎样保存原始信息，不代表一项真实调查。

字段	一条记录的含义	可以提出的问题
参加者编号	区分参加者的标识；编号大小没有数量意义	有没有重复记录？同一个人是否被算了两次？	主要到达方式	每人按事先统一的规则选一种类别	哪种方式的人数最多？各类占这四十人的多少？	到场用时，单位为分钟	每人的一个数量值	多数人花多久？是否有少数人用时很长？	路程，单位为千米	与同一人的用时成对保存	路程较长的人是否通常用时也较长？	到场时刻	放在时间轴上的观测时刻	某些时间段是否特别集中？

“公交车”是类别，不能用类别编号的平均值表示平均出行方式。用时则可以排序、相减，并在测量定义一致时求平均。路程和用时之间的关系需要保留同一行的配对；分别排序这两列再配起来，会把真实的配对关系破坏掉。

同一份数据可以回答几种问题，但回答一种问题时不必把所有字段都挤进一张图。到场时刻与个人用时也不能混淆：前者定位事件发生在何时，后者描述一个人的历时。

按问题选择统计图

想知道什么	合适的起点	主要读什么	需要特别检查什么
几个类别各有多少，谁多谁少	条形图（竖直绘制也称柱状图）	从共同基线起的长度及数值刻度	单位、类别口径、零基线；类别条形的宽度通常不代表数量	一个整体由哪些部分构成	扇形统计图（饼图）	同一圆内的角度与面积占比	各部分须使用同一分母，互不重叠并覆盖所表示的整体	一个数量变量集中在哪些区间	直方图	区间位置、面积、峰与尾部	分组边界、组宽以及纵轴是频数还是密度	几组数量数据的中部与分散程度怎样不同	箱线图	中位数、四分位距、须及单独标出的点	四分位数和须的计算约定；箱体省略了大量分布细节	两个数量变量怎样一起变化	散点图	每一对观测的位置、整体形状与偏离的点	配对是否正确、是否有分组或重叠；相关性不能单独确定因果	一个量怎样随时间或有序坐标变化	折线图及适当的曲线	观测点、变化方向、单位时间的变化	时间间隔、缺测、连接或平滑所加的假设

图名不能代替这些判断。例如，四根竖柱可能表示四种交通方式，也可能表示四个用时区间。前者的横轴是类别，调换次序通常不改变数据含义；后者的横轴是连续的数轴，交换区间就会改变所描述的分布。区分条形图与直方图时，这一点比“柱子有没有缝”更可靠。

从四十条记录走到一张图

按每人一种主要到达方式计数，得到下面的合成汇总。步行、自行车、公交和轨道交通的分类规则须事先明确；若一人乘用了几种交通工具，不能未经处理就在每类里重复计算，再把它们当作一个圆的四个部分。

主要到达方式	人数（频数）	占本次四十人的比例（相对频数）
步行	12	$12/40=30\mathrm{\%}$
自行车	11	$11/40=27.5\mathrm{\%}$
公交	9	$9/40=22.5\mathrm{\%}$
轨道交通	8	$8/40=20\mathrm{\%}$
合计	40	$100\mathrm{\%}$

这里先把四十次类别记录汇总为四个频数 $n_j$，再用共同总数 $N=40$ 计算 $$p_j=\frac{n_j}{N},\sum _{j=1}^4{n}_j=N,\sum _{j=1}^4{p}_j=1.$$ 最后一个等式来自分类不重不漏。若有两人没有回答，应注明未回答人数，并说明比例的分母是全部参加者还是有效回答者。把分母藏起来，会让同一个百分比产生不同的解释。

用同一组数据画条形图。先沿共同刻度读出人数，再比较条形端点之间的差；类别名称不能当作数轴刻度。

若问题是“步行比自行车多多少”，条形图把两根条放在共同刻度上，差值就是 $12-11=1$ 人。换成占比，差值为 $30\mathrm{\%}-27.5\mathrm{\%}=2.5$ 个百分点。若问题是“步行人数比自行车人数高百分之几”，分母改为自行车人数，结果为 $$\frac{12-11}{11}\times 100\mathrm{\%}\approx 9.09\mathrm{\%}.$$ 这三个数回答三个不同的问题，不能只说“高了 2.5%”而省略比较对象。

若要强调这四十人的构成，扇形统计图可以把同一组比例转为扇区。因为完整圆周有 $360^{\circ }$，步行所对应的角度为 $360^{\circ }\times 0.30=108^{\circ }$。换了图形，原来的十二人没有改变；改变的是最容易被看见的关系。

一张图显示了什么，又省略了什么

上述四个频数能告诉我们参加者的主要到达方式，却不能还原每人的用时，更不能推导出路程与用时的相关系数。汇总会丢失信息，所以应保留原始记录和计算过程，不能只保存最后的图片。

对于用时，先画直方图可以观察是否偏斜、是否有多个集中区间；比较几组用时时，箱线图能紧凑地排列它们的中位数和四分位距。两种图回答的问题有交集，省略的信息却不同：箱线图通常看不出两个峰，直方图的形状又会随组宽和分组起点改变。样本很小时，把原始点一并画出，往往比只给汇总形状更便于判断。

研究路程与用时时，散点图保留每一对数的位置。把每人的点按编号连成线，通常没有值得解释的斜率，因为编号并不是时间。若记录的是同一个容器在不同时刻的水量，则折线图中的时间次序有实际含义；仍须区分观测点与连接线，不能把两次测量之间的直线当作已经测到的过程。

读图时沿着证据走

先读标题与数据说明，明确对象、期间和单位；再读轴、图例、分母及样本量。随后描述图中确实看见的现象，例如“本次四十人中步行人数最多”，并给出数值。这个顺序可以避免先被颜色或形状吸引，再替图寻找结论。

这四十人并不自动代表全市居民。活动地点、参加者来源、天气和到场时间都可能影响记录。把本次比例推广为总体比例，需要说明抽样或数据生成机制，并考虑不确定性，相关问题进入统计推断。即使图画得准确，也不能弥补样本选择造成的偏差。

图中的异常点同样先是线索。它可能来自录入错误，也可能是真实的长途参加者；应回查记录和测量过程，再决定处理方法。仅仅因为某个点使趋势不整齐而删除它，会改变要研究的数据。

一幅可复查的图应让读者找到数据来源、筛选范围、计算方法与作图约定。颜色应辅以文字、形状或线型；需要精确读数时同时提供数表。本文及相邻词条中的教学数据均为合成例子，不能用作现实人群或社会现象的证据。

从数据的图形走向分布模型

直方图显示一批已经取得的观察，概率分布描述模型如何向可能结果分配概率。画在一起比较时，先使直方图面积归一化，再核对横轴单位。计数问题可以读二项分布与泊松分布，等待问题可以读几何分布、均匀分布与指数分布，测量和均值推断可读正态分布与学生t分布。图形相似是检查模型的线索，还需要说明抽样机制和适用条件。

统计图与探索性数据分析

探索性数据分析（exploratory data analysis，EDA）把图形与数值摘要结合，用来发现结构、检查假设并寻找需要继续研究的问题。Tukey 的《Exploratory Data Analysis》（1977）是这一方法的重要著作；这不意味着所有统计图都在那时才被发明。NIST 的手册也强调，EDA 是分析问题的方式，不只是某一种图的名称。

学习时可以先用条形图和扇形统计图弄清比较与构成，再用直方图和箱线图认识分布，最后用散点图与折线图讨论关系和变化。每学一种图，都尝试用原始数据重算图上的一个位置或区域，并解释改变一种作图约定后，哪些结论仍然成立。

延伸阅读

• NIST/SEMATECH e-Handbook：What is EDA?，区分探索性分析方法与个别图形技术。
• 英国国家统计局（ONS）：Chart types，按比较、时间变化、构成等任务组织图形选择。
• ONS：Data visualisation principles，讨论准确表达、可访问性与图文配合。