闭区间连续函数的最值定理

闭区间连续函数的最值定理（extreme value theorem）说：若实函数 $f$ 在非空闭区间 $[a, b]$ 上连续，则函数值不仅有上、下界，而且上下界都由区间中的点真正取得。也就是说，存在 $x_{min}, x_{max} \in [a, b]$ ，使每个 $x \in [a, b]$ 都满足 $f (x_{min}) \leq f (x) \leq f (x_{max}) .$ “有界”与“达到边界”是两项不同的结论；前者只给范围，后者还给达到极值的输入。

看 $f (x) = x (2 - x)$ 在 $[0, 2]$ 上的情形。配方得到 $f (x) = 1 - (x - 1)^{2}$ 。因为平方非负， $f (x) \leq 1$ ，且 $x = 1$ 时确实等于 1；又因 $x \geq 0$ 、 $2 - x \geq 0$ ，所以 $f (x) \geq 0$ ，在两个端点达到 0。这一次具体求值不需要一般定理，却显示了定理所保证的对象是什么。

左侧闭区间上的抛物线在内部实心点达到最大值，端点实心点达到最小值；右侧开区间上的斜直线向空心端点靠近却达不到上界 — 左边的极值由区间内的点取到；右边的上确界只是越来越靠近的高度。

定理的条件

这里“连续”包括相对于区间的端点连续：从区间内部靠近 $a$ 、 $b$ 时，函数值分别靠近端点函数值。若 $a = b$ ，区间只有一个点，最小值与最大值都在这个点取得。

闭端点不能随意删去。 $g (x) = x$ 在开区间 $(0, 1)$ 上连续且有界，上确界为 1、下确界为 0，却都没有在区间内取到。连续性也不能删去：在 $[0, 1]$ 上令 $h (x) = x$ （ $0 \leq x < 1$ ），另令 $h (1) = 0$ 。它有上界 1，但所有函数值都小于 1； $x = 1$ 处的跳变使最大值消失。

函数值先要有界

反设 $f$ 在 $[a, b]$ 上无界，则对每个正整数 $n$ ，可取 $x_{n} \in [a, b]$ 使 $| f (x_{n}) | > n$ 。输入列有界，按博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理可取子列 $x_{n_{k}} \to x_{*}$ 。闭区间包含自己的极限点，所以 $x_{*} \in [a, b]$ ；连续性于是给出 $f (x_{n_{k}}) \to f (x_{*})$ 。一个收敛的实数列必有界，却同时满足 $| f (x_{n_{k}}) | > n_{k} \to \infty$ ，矛盾。因此 $f$ 有界。

这段证明让两个条件各有工作：有界区间使输入列有收敛子列，闭区间把子列极限留在定义域，连续性把输入收敛传递到函数值。只看曲线“画得平滑”，无法替代其中任何一步。

把上确界变成最大值

既然函数值集合 $f ([a, b])$ 非空且有上界，由上确界原理可取 $M = sup f ([a, b])$ 。对每个正整数 $n$ ，上确界的逼近性质给出 $x_{n} \in [a, b]$ ，使 $M - \frac{1}{n} < f (x_{n}) \leq M .$ 再从 $(x_{n})$ 中取收敛子列 $x_{n_{k}} \to x_{max} \in [a, b]$ 。由于 $1 / n_{k} \to 0$ ，夹逼可得 $f (x_{n_{k}}) \to M$ ；连续性给出 $f (x_{max}) = M$ 。这就证明上确界在某个实际输入处被达到。对 $- f$ 重复同一论证，便得到最小值。

证明并不保证 $x_{max}$ 或 $x_{min}$ 唯一。常数函数在区间每一点同时达到最大值和最小值；有多个峰顶的函数也可在不同点达到同一个最大值。

与求导判别的关系

定理先保证极值点存在，却不告诉我们位置。若极值点 $c$ 位于区间内部且 $f$ 在 $c$ 可导，那么右侧差商和左侧差商在极大值处分别不正与不负；两边若趋向同一个导数，只能有 $f^{'} (c) = 0$ 。极小值同理。端点不受这个导数为零的要求约束。

因此求具体极值时，通常检查内部的驻点、不可导点和两个端点；单调性与极值判别会进一步判断哪些候选取得全局最大或最小。罗尔定理的证明则使用最值定理：等高端点之间若函数不是常数，某个内部极值点的导数必为零。

参考资料

ProofWiki，Weierstrass Extreme Value Theorem：闭区间实函数的陈述。
MIT OpenCourseWare，18.100B Real Analysis，Lecture 11：连续函数的最值与介值定理。
继续阅读：上确界原理、博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理、罗尔定理。