任意角与诱导公式

任意角允许转过超过一周、顺时针转动或不转动；诱导公式把这些角的三角函数值还原为熟悉角的值。先在单位圆上确定终边，再看横、纵坐标怎样变化，符号就不必靠口诀猜。

同终边的角

从正横轴起逆时针转 $\theta$，顺时针则记负角。转满一周增加 $2\pi$ 弧度，终点回到同一位置，因此对任意整数 $k$， $$\sin (\theta +2k\pi )=\sin \theta ,\cos (\theta +2k\pi )=\cos \theta .$$ 这说明 $\theta$ 与 $\theta +2k\pi$ 是同终边角，不是同一个转动过程：后者可能多转了几圈。若讨论路程或转动次数，不能只留下终点。

镜像与半周怎样改变坐标

单位圆上角 $\theta$ 的点为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$。把它关于横轴镜像，角变为 $-\theta$，横坐标不变、纵坐标变号： $$\cos (-\theta )=\cos \theta ,\sin (-\theta )=-\sin \theta .$$ 关于纵轴镜像得到角 $\pi -\theta$ 的点，故 $$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta ,\sin (\pi -\theta )=\sin \theta .$$ 从原点对径的点对应再转半周 $\pi +\theta$，两个坐标都变号：$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$、$\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$。正切是纵坐标除以横坐标，因此只在分母不为零处使用这些关系。

角 $\pi /2-\theta$ 的横、纵坐标交换，由直角三角形或单位圆的对称性得到 $\sin (\pi /2-\theta )=\cos \theta$、$\cos (\pi /2-\theta )=\sin \theta$。把“符号变没变”和“正弦余弦是否互换”分开看，公式便有几何原因。

两个角的实际计算

$7\pi /6=\pi +\pi /6$，终点在第三象限，两坐标都为负。由 $\sin (\pi /6)=1/2$、$\cos (\pi /6)=\sqrt{3}/2$ 得 $$\sin \frac{7\pi }{6}=-\frac{1}{2},\cos \frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 再看 $-\pi /3$：它与 $5\pi /3$ 同终边，余弦为 $1/2$，正弦为 $-\sqrt{3}/2$。任选一组结果代回 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，可检查数值大小；但这个等式不能单独判断象限中的正负号。

练习：求 $\sin (11\pi /6)$。角 $11\pi /6=2\pi -\pi /6$，是 $-\pi /6$ 的同终边角，所以答案为 $-1/2$。先确定第四象限的负号，再代入熟悉角的值。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，§5.2：单位圆与任意角。
• 继续阅读：正弦函数与余弦函数的图像和性质、三角恒等式。