勒贝格测度

勒贝格测度（Lebesgue measure）把实线上的长度、平面上的面积与更高维空间中的体积，推广到一大类可测集合。它对两两不交的可列集合可加，平移集合不改变测度；在 $d$ 维空间中，把各方向都放大为原来的 $c$ 倍，测度变为原来的 $c^{d}$ 倍。

它测量的是空间中集合的大小，不是集合的点数。下文记 $d$ 维勒贝格测度为 $m_{d}$ ：一维时读作长度，二维时读作面积。先从矩形覆盖定义外测度，再说明哪些集合可以使用可加性，并用一个有重叠的区域完成面积、缩放和外逼近计算。

从矩形覆盖定义外测度

设 $d \geq 1$ 为整数。一个轴平行的有界闭矩形为 $Q = \prod_{j = 1}^{d} [a_{j}, b_{j}], a_{j} \leq b_{j},$ 它的体积定义为 $| Q | = \prod_{j = 1}^{d} (b_{j} - a_{j}) .$ 一维中这就是区间长度，二维中是长乘宽；退化边长允许为零。

对任意 $E \subseteq ℝ^{d}$ ，考虑所有至多可数个矩形组成的覆盖： $E \subseteq ⋃_{k} Q_{k}$ 。相应的勒贝格外测度定义为 $\begin{matrix} m_{d}^{*} (E) = inf { & \sum_{k} | Q_{k} | : \\ E \subseteq ⋃_{k} Q_{k}, Q_{k} 为闭矩形} . \end{matrix}$ 空集允许空覆盖，代价为零。矩形可以重叠，和式把重叠部分重复计入；因此任意一次覆盖给的是外测度的上界，不一定是精确值。取下确界是把所有覆盖代价尽量压低，并不保证存在某个覆盖恰好达到这个下确界。外测度可以为无穷。^[1]

这个构造给每个子集一个外测度，满足空集为零、单调性和可列次可加性： $m_{d}^{*} (⋃_{k} E_{k}) \leq \sum_{k} m_{d}^{*} (E_{k}) .$ 后面的“可测”条件，才使两两不交集合的这项不等式提升为等式。

Carathéodory 可测性与勒贝格测度

一个集合 $E \subseteq ℝ^{d}$ 称为勒贝格可测，若对每个子集 $T \subseteq ℝ^{d}$ ，不论 $T$ 是否已知可测，都有 $m_{d}^{*} (T) = m_{d}^{*} (T \cap E) + m_{d}^{*} (T ∖ E) .$ 这是 Carathéodory 可测性条件。它要求用 $E$ 把任意测试集合分成内外两块时，外测度的收支准确相加。由次可加性，“小于等于”始终成立；可测性要求反向不等式也成立。

Carathéodory 定理保证：满足条件的集合组成σ代数 $ℒ_{d}$ ，外测度限制在这个集合族上便成为测度。因此定义 $m_{d} (E) = m_{d}^{*} (E) (E \in ℒ_{d}) .$ 构造理论还给出矩形测度等于通常体积、所有 Borel 集可测、该测度空间完备等结论。这里引用这些基础构造定理；下面完整证明的是由覆盖与可测性推出的变换、外逼近性质。^[2]

Borel 集是由欧氏开集经可列并、可列交及补集运算生成的集合。勒贝格可测集合还包含 Borel 零测集的所有子集；这是相对于勒贝格测度的完备化，不能把“Borel 可测”和“勒贝格可测”混为一项定义。另一方面，在通常采用选择公理的集合论框架中，并不是实空间的所有子集都勒贝格可测。不能把“每个子集都有外测度”改写成“每个子集都有勒贝格测度”。^[3]

有重叠区域的完整面积计算

在平面上取 $\begin{matrix} R_{1} & = [0, 3] \times [0, 1], \\ R_{2} & = [2, 4] \times [0, 2], \\ E & = R_{1} \cup R_{2} . \end{matrix}$ 两个矩形都是可测集，故它们的交、并、差也可测。各自面积为三与四，交集是 $[2, 3] \times [0, 1]$ ，面积为一。用有限测度集合的收支公式， $m_{2} (E) = 3 + 4 - 1 = 6.$

横向矩形R1从零到三高一，竖向矩形R2从二到四高二，二到三且零到一的重叠部分面积为一，总并集面积六 — 两个矩形的面积相加得到七，其中金色重叠方块重复一次；去掉重复后，L形区域的面积为六。

也可以直接把并集拆成三块互不相交的区域： $\begin{matrix} A & = [0, 2) \times [0, 1], \\ B & = [2, 4] \times [0, 1], \\ C & = [2, 4] \times (1, 2] . \end{matrix}$ 它们的面积均为二，且 $E = A \cup B \cup C$ ，所以同样得到六。半开边界是为了使分块严格不交；已知开、闭及半开矩形具有相同的边长乘积，不必把共有边界重复加入。可加性针对的是集合分解，不依赖画图时线条的粗细。

平移与缩放的覆盖证明

设 $a \in ℝ^{d}$ 为平移向量， $0 < c < \infty$ 为缩放系数。记 $E + a = {x + a : x \in E}, c E = {c x : x \in E} .$ 若 ${Q_{k}}$ 覆盖 $E$ ，则 ${Q_{k} + a}$ 覆盖 $E + a$ ，矩形体积不变。反过来，将任意覆盖 $E + a$ 的矩形平移 $- a$ ，又得到覆盖 $E$ 的相同代价。两边覆盖代价一一对应，因此 $m_{d}^{*} (E + a) = m_{d}^{*} (E) .$

类似地， ${c Q_{k}}$ 覆盖 $c E$ ，每个矩形有 $d$ 条边同时乘 $c$ ，故体积乘 $c^{d}$ 。从正向覆盖先得 $m_{d}^{*} (c E) \leq c^{d} m_{d}^{*} (E) .$ 再对 $c E$ 使用系数 $1 / c$ ，得到反向不等式，因而 $m_{d}^{*} (c E) = c^{d} m_{d}^{*} (E) .$ 正、有限的系数也允许等式两边同时为无穷；这里没有使用 $0 \cdot \infty$ 或逆不可用的零缩放。^[4]

外测度相等还不够，需要确认变换后的集合仍可测。若 $E$ 可测，对任意 $T \subseteq ℝ^{d}$ ，用平移不变性及 $E$ 的可测性： $\begin{matrix} m_{d}^{*} (T) & = m_{d}^{*} (T - a) \\ = m_{d}^{*} ((T - a) \cap E) \\ + m_{d}^{*} ((T - a) ∖ E) \\ = m_{d}^{*} (T \cap (E + a)) \\ + m_{d}^{*} (T ∖ (E + a)) . \end{matrix}$ 所以 $E + a$ 满足同一个判据。缩放时，把 $T$ 换为 $T / c$ ，先用 $E$ 将其分割，再把两块乘回 $c$ ；外测度的两项都乘同一正数 $c^{d}$ ，也得到 $c E$ 的可测性。因此，对可测集合， $m_{d} (c E + a) = c^{d} m_{d} (E) .$

变式。 将主例的 L 形区域各方向放大两倍，再平移向量 $(1, - 1)$ ，得到 $E^{'} = 2 E + (1, - 1)$ 。新矩形为 $\begin{matrix} {R_{1}}^{'} & = [1, 7] \times [- 1, 1], \\ {R_{2}}^{'} & = [5, 9] \times [- 1, 3] . \end{matrix}$ 面积依次为十二与十六，交集面积为四，所以 $m_{2} (E^{'}) = 12 + 16 - 4 = 24$ ；这也等于 $2^{2} \times 6$ 。长度放大两倍，面积应乘四而不是乘二；平移不再改变面积。

变换后的L形由从一点到七点高二的矩形与从五到九高四的矩形组成，重叠面积四，总面积二十四 — 坐标已同时执行两倍缩放与向量(1,−1)的平移。可用新矩形的长宽重新计算，独立核对面积乘四。

有限测度集合的外开逼近

若可测集合 $E$ 满足 $m_{d} (E) < \infty$ ，则对每个 $ε > 0$ ，存在开集 $O \supseteq E$ ，使 $m_{d} (O ∖ E) < ε .$ 这是外正则性的一种形式：可以从外部用开集包住目标，并使多包住的测度任意小。它不要求目标集合本身开或闭。

证明。 从外测度的下确界定义选一组闭矩形覆盖，使 $\sum_{k} | Q_{k} | < m_{d} (E) + \frac{ε}{2} .$ 将每个有界 $Q_{k}$ 稍微向外增厚为开矩形 $V_{k} \supseteq Q_{k}$ 。矩形体积是边长的连续函数，故可分别选厚度，使 $| V_{k} | < | Q_{k} | + \frac{ε}{2^{k + 1}} .$ 有限覆盖也可编号；所有增量之和小于等于 $ε / 2$ 。令 $O = ⋃_{k} V_{k}$ ，它开且包含 $E$ 。由次可加性及矩形体积公式， $\begin{matrix} m_{d} (O) & \leq \sum_{k} | V_{k} | \\ < m_{d} (E) + ε . \end{matrix}$ 因为 $E$ 、 $O$ 均可测，且测度有限，可从不交分解 $O = E \cup (O ∖ E)$ 作减法，得到所需结论。^[5]

对主例可以把这项逼近写成完全显式的公式。将两个矩形各方向都增厚 $δ > 0$ ： $\begin{matrix} V_{1, δ} & = (- δ, 3 + δ) \times (- δ, 1 + δ), \\ V_{2, δ} & = (2 - δ, 4 + δ) \times (- δ, 2 + δ), \\ O_{δ} & = V_{1, δ} \cup V_{2, δ} . \end{matrix}$ 三项面积收支给出 $\begin{matrix} m_{2} (O_{δ}) & = (3 + 2 δ) (1 + 2 δ) \\ + (2 + 2 δ)^{2} - (1 + 2 δ)^{2} \\ = 6 + 12 δ + 4 δ^{2} . \end{matrix}$ 因此 $m_{2} (O_{δ} ∖ E) = 12 δ + 4 δ^{2}$ 。取 $δ = 0.1$ ，面积为 $7.24$ ，多包住 $1.24$ ；这组数展示的是一次具体外覆盖，不是最小覆盖。

原L形区域周围有厚度零点一的外开覆盖，虚线为外覆盖的开放边界，多覆盖面积一点二四 — 实线轮廓标记原集合 E，外层虚线表示开覆盖的边界不计入。δ=0.1 时外层区域总面积7.24；图中增厚宽度与坐标一致。

若给定任意误差 $ε > 0$ ，可取 $δ = min (\frac{1}{4}, \frac{ε}{16}) .$ 此时 $4 δ^{2} \leq δ$ ，故多包住的面积不超过 $13 δ \leq 13 ε / 16 < ε$ 。这把“足够薄”落实成了能代入核对的厚度选择。

维数、零测与概率权重

$m_{d}$ 的维数是定义的一部分：二维测度记面积，不能拿一条曲线的长度直接代替其二维测度。一个集合的勒贝格测度为零，也不意味着它没有点或只有有限个点，具体例子见零测集。

在 $[0, 1]$ 上限制一维勒贝格测度，可以得到均匀概率，因为区间总测度为一；在整个实线上， $m_{1} (ℝ) = \infty$ ，它本身不是概率。若用概率密度 $p$ 构造 $P (A) = \int_{A} p d m_{1}$ ，改变的是每处的权重，所得 $P$ 也不应再与长度测度混称。勒贝格测度、计数测度和点质量共同服从测度规则，几何解释却各不相同。

参考文献

↑ John K. Hunter：Lebesgue Measure on Rⁿ，Measure Theory，§2.1—2.2，定义2.1—2.2及命题2.7。访问日期：2026年11月1日。
↑ John K. Hunter，同上讲义§2.3—2.4、§2.6，定义2.8、定理2.9、命题2.11—2.12与2.21。
↑ John K. Hunter，同上讲义§2.5—2.7，例2.17及定理2.28。
↑ John K. Hunter，同上讲义§2.5与§2.8，命题2.16、2.32。
↑ John K. Hunter，同上讲义§2.7，定理2.23的外正则性。上述有限测度版本以近最优矩形覆盖及可求和的增厚误差说明。

[hunter-def-1] John K. Hunter：Lebesgue Measure on Rⁿ，Measure Theory，§2.1—2.2，定义2.1—2.2及命题2.7。访问日期：2026年11月1日。

[hunter-cara-2] John K. Hunter，同上讲义§2.3—2.4、§2.6，定义2.8、定理2.9、命题2.11—2.12与2.21。

[hunter-complete-3] John K. Hunter，同上讲义§2.5—2.7，例2.17及定理2.28。

[hunter-transform-4] John K. Hunter，同上讲义§2.5与§2.8，命题2.16、2.32。

[hunter-reg-5] John K. Hunter，同上讲义§2.7，定理2.23的外正则性。上述有限测度版本以近最优矩形覆盖及可求和的增厚误差说明。

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