简单函数

简单函数（simple function）是只取有限多个实数值的可测函数。它把定义域分成有限个可测水平集，在每个水平集上取一个常数。水平集可以是区间，也可以是离散点、互不相邻的区域或更一般的可测集合；“简单”指取值只有有限种，不表示图像一定是有限个连续台阶。

简单函数使积分先成为有限个“数值乘集合测度”的和，再用逐层精细化逼近一般非负可测函数。本条先用一组重叠集合算清表示和积分，再完整构造递增的二进制近似。

指示函数与规范水平集

在可测空间 $(X,\Sigma )$ 上，对可测集合 $E\in \Sigma$，指示函数定义为 $${\mathrm{𝟏}}_E(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in E,\\ 0,& x\notin E.\end{array}$$ 设简单函数 $s$ 的不同取值为有限个实数 $c_1,\dots ,c_m$，相应水平集为 $$E_j=\{x\in X:s(x)=c_j\}.$$ 由于单点集 $\{c_j\}$ 是 Borel 集，可测性保证 $E_j\in \Sigma$。这些集合互不相交，且并为 $X$，所以 $$s=\sum _{j=1}^m{c}_j{\mathrm{𝟏}}_{E_j}.$$ 这是按不同函数值划分的规范表示；水平集本身由函数确定。零水平集可以写出，省略它的零项也不改变函数。

更一般的表示 $s=\sum _{i=1}^N{a}_i{\mathrm{𝟏}}_{A_i}$ 不要求 $A_i$ 互斥，也不要求系数不同。只要系数为有限实数、集合可测，这仍是简单函数：每点由有限个零、一选择形成一个和，总共至多出现 $2^N$ 种值；有限和的可测性由可测函数的代数性质保证。重叠处的函数值应把全部贡献相加。

反之，只取有限值还不够。如果 $E\notin \Sigma$，那么 ${\mathrm{𝟏}}_E$ 虽然只取零、一，却不可测，因为 $\{{\mathrm{𝟏}}_E>1/2\}=E$。本条的简单函数均要求可测，并且每个取值有限；正无穷不作为简单函数的一种取值。

重叠集合的完整算例

取有限空间 $X=\{p,q,r,s\}$，全部子集均可测。为每个点赋予测度 $$\begin{array}{cc}\mu (\{p\})& =1/4,\mu (\{q\})=1/8,\\ \mu (\{r\})& =3/8,\mu (\{s\})=1/4.\end{array}$$ 集合的测度为其点权重之和，故 $\mu (X)=1$。

设 $A=\{p,q,r\}$、$B=\{q,r,s\}$，定义 $$h=2{\mathrm{𝟏}}_A+3{\mathrm{𝟏}}_B.$$ 在仅属于 $A$ 的 $p$ 处，函数值为二；在仅属于 $B$ 的 $s$ 处为三；$q,r$ 同时属于两集合，函数值为五。

点	点的测度	$2{\mathrm{𝟏}}_A$	$3{\mathrm{𝟏}}_B$	函数值
$p$	$1/4$	2	0	2
$q$	$1/8$	2	3	5
$r$	$3/8$	2	3	5
$s$	$1/4$	0	3	3

标记中的数字是函数值。区域只表示集合归属，测度由表中的点权重给出，不由图中椭圆面积决定。

函数的不同取值是二、三、五，因此规范表示为 $$h=2{\mathrm{𝟏}}_{\{p\}}+3{\mathrm{𝟏}}_{\{s\}}+5{\mathrm{𝟏}}_{\{q,r\}}.$$ 按非负简单函数的积分定义，水平值乘相应集合测度并相加： $$\begin{array}{cc}{\int }_{X}h\mathrm{d}\mu & =2\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{4}+5(\frac{1}{8}+\frac{3}{8})\\ & =\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{2}=\frac{15}{4}.\end{array}$$ 另一方面，$\mu (A)=\mu (B)=3/4$，所以使用原来的重叠表示也得到 $$2\mu (A)+3\mu (B)=2\cdot \frac{3}{4}+3\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{4}.$$ 重叠没有被错误地漏算：在 $A\cap B$ 上，函数本来就同时含两份贡献。

积分不依赖表示的证明

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是任意测度空间，非负简单函数以互斥水平集写为 $s=\sum _j{c}_j{\mathrm{𝟏}}_{E_j}$，其中 $c_j\ge 0$。定义 $${\int }_{X}s\mathrm{d}\mu =\sum _j{c}_j\mu (E_j).$$ 若某项系数为零而集合测度为无穷，约定 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$：零函数在这样的集合上仍贡献零。正系数所在集合测度无穷时，积分可以为正无穷。

现在考虑同一非负函数的两种非负系数表示： $$s=\sum _i{a}_i{\mathrm{𝟏}}_{A_i}=\sum _j{b}_j{\mathrm{𝟏}}_{B_j}.$$ 把所有 $A_i,B_j$ 及其补集逐一相交，并舍去空集，便得到有限个互斥可测区域 $C_k$。每个点都由“属于或不属于各集合”确定唯一的区域；每个 $A_i$、$B_j$ 又是若干 $C_k$ 的并。在一个固定的 $C_k$ 上，两种表示的系数和都等于函数在该区的常值 $d_k$。

测度的有限可加性于是给出 $$\begin{array}{cc}\sum _i{a}_i\mu (A_i)& =\sum _i\sum _{k:C_k\subseteq A_i}{a}_i\mu (C_k)\\ & =\sum _k\left(\sum _{i:C_k\subseteq A_i}{a}_i\right)\mu (C_k)\\ & =\sum _k{d}_k\mu (C_k).\end{array}$$ 对第二种表示作同一计算，也得到 $\sum _k{d}_k\mu (C_k)$，故积分相同。这里仅交换有限个非负项，配合 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$ 的约定，不会出现 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$。这证明了用重叠集合计算积分的合法性，而不是先假定所要证明的积分线性。

若简单函数含正、负值，在 $\sum _j|c_j|\mu (E_j)<\mathrm{\infty }$ 时，可定义有限积分为 $\sum _j{c}_j\mu (E_j)$。在有限测度空间上，简单函数有界，因而满足这个可积条件；在无限测度空间上则未必，例如实线上的常函数一的勒贝格积分为正无穷。

递增二进制近似的构造

设 $f:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ 是非负扩展实值可测函数；这里允许 $f(x)=\mathrm{\infty }$，可测性仍以每个实阈值的原像为可测集来检验。我们要构造有限值的简单函数 $s_n$，使 $$0\le s_1\le s_2\le \cdots ,s_n(x)⟶f(x).$$ 构造分成两件事：把超过 $n$ 的值截到 $n$；把剩余值向下取到间距 $2^{-n}$ 的网格。

对正整数 $n$ 和整数 $0\le k\le n{2}^n-1$，定义可测集合 $$\begin{array}{cc}{E}_{k,n}& =\{k{2}^{-n}\le f<(k+1)2^{-n}\},\\ F_n& =\{f\ge n\}.\end{array}$$ 这些集合互不相交，且并为 $X$。定义 $$s_n=\sum _{k=0}^{n{2}^n-1}k{2}^{-n}{\mathrm{𝟏}}_{E_{k,n}}+n{\mathrm{𝟏}}_{F_n}.$$ 它只取 $0,2^{-n},2\cdot 2^{-n},\dots ,n$ 中的有限个值，共至多 $n{2}^n+1$ 种；所有水平区域均可测，所以确为简单函数。

若 $f(x)$ 有限，公式等价于 $$s_n(x)=min\{n,2^{-n}\lfloor 2^{n}f(x)\rfloor \}.$$ 若 $f(x)=\mathrm{\infty }$，则直接取 $s_n(x)=n$，不对无穷大进行普通的取整运算。网格端点 $f(x)=k{2}^{-n}<n$ 属于左闭区间，其近似值恰为该端点；$f(x)=n$ 属于截断集合。

单调性与收敛的证明

显然 $0\le s_n(x)\le f(x)$。对有限值 $y=f(x)$，利用 $$\lfloor 2^{n+1}y\rfloor \ge 2\lfloor 2^{n}y\rfloor ,$$ 得到细网格的向下近似不小于粗网格近似。截断上界又从 $n$ 增加到 $n+1$，对这两个量取最小值仍保持不减，所以 $s_{n+1}(x)\ge s_n(x)$。当 $f(x)=\mathrm{\infty }$ 时，单调性来自 $n+1\ge n$。

固定一个有限值 $f(x)$，当 $n>f(x)$ 时不再截断，取整误差满足 $$0\le f(x)-s_n(x)<2^{-n}.$$ 右侧趋零，故逐点收敛；在无穷值处，$s_n(x)=n\to \mathrm{\infty }$，同样得到所需极限。若 $f\le M<\mathrm{\infty }$，所有 $n>M$ 都在全域解除截断，从而 $$\underset{x\in X}{sup}|f(x)-s_n(x)|\le 2^{-n}.$$ 因此有界情形还得到一致收敛。反之，截断仍启用时，误差可能远大于 $2^{-n}$，不能省略这个条件。

三倍函数的分层算例

在 $[0,1]$ 上配勒贝格测度，取 $f(x)=3x$。第一层的间距为 $1/2$，上界为一，所以 $$s_1(x)=\{\begin{array}{cc}0,& 0\le x<1/6,\\ 1/2,& 1/6\le x<1/3,\\ 1,& 1/3\le x\le 1.\end{array}$$ 用区间长度计算其积分： $${\int }_0^1{s}_1(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+1\cdot \frac{2}{3}=\frac{3}{4}.$$ 右侧大块区域不是取整精度不足造成的细小误差，而是整个 $f\ge 1$ 的部分都被截到一。

虚线为 f=3x，实线为 s₁。实心端点取入，空心端点不取入；截断使右侧区域保留较大误差。

第二层的间距为 $1/4$、上界为二：在 $[k/12,(k+1)/12)$ 上取 $k/4$（$k=0,\dots ,7$），在 $[2/3,1]$ 上取二。第三层的上界达到三，已不再因截断而压低函数值，仍作间距为八分之一的向下取整；在 $[k/24,(k+1)/24)$ 上取 $k/8$（$k=0,\dots ,23$），在端点一取三。

位置	$f(x)$	$s_1(x)$	$s_2(x)$	$s_3(x)$
$x=3/10$	$9/10$	$1/2$	$3/4$	$7/8$
$x=1$	3	1	2	3

在第一行，逐步提高精度使近似从 $0.5$ 增加到 $0.75$、$0.875$，趋向 $0.9$。第二行则先解除截断：$s_2(1)=2$ 与 $f(1)=3$ 的误差是一，远大于 $1/4$。

s₃按输出高度分层；每层原像在本例中恰好是区间。一般可测函数的同一高度层原像可以散布在定义域各处。

第二、三层的积分也可直接复算： $$\begin{array}{cc}{\int }_0^1{s}_2(x)\mathrm{d}x& =\frac{0+1+\cdots +7}{48}+\frac{2}{3}=\frac{5}{4},\\ {\int }_0^1{s}_3(x)\mathrm{d}x& =\frac{0+1+\cdots +23}{192}=\frac{23}{16}.\end{array}$$ 每项“高度乘宽度”来自相应区间，单个端点的勒贝格测度为零，不额外贡献面积。结果 $3/4,5/4,23/16$ 逐步接近 ${\int }_0^{1}3x\mathrm{d}x=3/2$。

变式。 若目标函数在某一点取正无穷，该点的近似序列是一、二、三，依次增大，却没有任何一步取无穷。若在 $[0,\mathrm{\infty })$ 上取 $f(x)=x$，每个 $s_n\le n$，而 $f$ 无界；对固定的 $n$，全域误差的上确界为无穷。它仍逐点收敛，但不具有有界情形的一致误差保证。

有限取值、阶梯图与积分近似

在紧区间上，经有限个子区间分割得到的实值阶梯函数是简单函数。反方向不成立：例如在 $[0,1]$ 上，有理数集合的指示函数 ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ 只有零、一两个值，且水平集为 Borel 集；但每个非退化子区间同时包含有理数和无理数，函数在其上不恒定，因而不能由有限个区间上的常值阶梯表示。

也不能把可数取值当作有限取值。实线上的 $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ 是可测函数，却取遍所有整数，因而不是简单函数。有限水平集的条件保证每一次积分定义只涉及有限个集合测度之和。

一般非负可测函数的勒贝格积分，可定义为其下方所有非负简单函数积分的上确界。把一列 $s_n\uparrow f$ 的积分极限等同于这个上确界，需要单调收敛定理；上文给出了符合其假设的逼近序列，未用有限张图代替该定理。

相关条目

• 可测函数、测度：水平集条件与积分的集合结构。
• 勒贝格测度、零测集：区间长度与端点的贡献。
• 可数集、数列的极限：有限层与可数层、逐点逼近的区别。