测度

测度（measure）是在一族指定的集合上赋予非负“大小”的函数，并要求两两不交的可列集合之并，其大小等于各部分大小之和。长度、面积、点的个数和概率都可以满足这项规则，但它们赋予同一个集合的数值未必相同。完整的测度模型需要同时说明底层集合、允许测量的子集，以及所用的赋值规则。

例如，四个结果 $a, b, c, d$ 组成集合 $X$ 。一个事件包含两个结果，不代表它的概率一定是一半：还要知道每个结果分得的权重。先把这个有限例子算清，再把“相加”推广到无限多个集合，就能看出测度定义中的条件各有什么作用。

一组集合与三种大小

取 $X = {a, b, c, d}$ ，暂时允许它的所有子集被测量。对任意 $A \subseteq X$ ，可以定义：

计数测度 $ν (A)$ ：数出 $A$ 中有几个元素。
概率测度 $P (A)$ ：把 $A$ 中各点的概率相加，权重依次为 $1 / 10, 2 / 10, 3 / 10, 4 / 10$ 。
狄拉克测度 $δ_{d} (A)$ ：若 $d \in A$ 则为一，否则为零；全部质量都集中在 $d$ 。

令 $E = {a, c}$ 、 $F = {c, d}$ 。它们的交为 ${c}$ ，并为 ${a, c, d}$ ，所以

集合	计数 $ν$	概率 $P$	集中于 $d$ 的测度
$E$	2	$4 / 10$	0
$F$	2	$7 / 10$	1
$E \cap F$	1	$3 / 10$	0
$E \cup F$	3	$8 / 10$	1

在概率这一列， $P (E) + P (F) = 11 / 10$ ，大于一并不构成矛盾：点 $c$ 被数了两次。求并集时应减掉重叠的一份，得到 $P (E \cup F) = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} .$ 计数与狄拉克测度也满足同样的集合收支关系，只是权重不同。

四列对应a b c d及其概率权重，四行依次标记E F交集与并集，交点c只在并集中计入一次 — 实心标记表示该点属于这一行的集合，空心标记表示不属于。右侧是各行概率之和；并集保留 a、c、d 的三份权重。

可测空间与严格定义

不一定要给 $X$ 的每个子集都赋值。首先选定一族集合 $Σ \subseteq 𝒫 (X)$ ，其中 $𝒫 (X)$ 表示全部子集组成的幂集。若满足：

$X \in Σ$ ；
若 $A \in Σ$ ，则相对于 $X$ 的补集 $X ∖ A \in Σ$ ；
若每个 $A_{n} \in Σ$ ，则 $⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \in Σ$ ，

就称 $Σ$ 为 $X$ 上的 σ代数。空集由补集规则得到，可列交由德摩根关系得到： $⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} = X ∖ ⋃_{n = 1}^{\infty} (X ∖ A_{n}) .$ 集合族中的元素称为可测集合， $(X, Σ)$ 称为可测空间。这些封闭性确保取补集、并集和极限式集合运算后，仍能谈论其大小。^[1]

定义。 可测空间上的测度是函数 $μ : Σ ⟶ [0, \infty],$ 满足 $μ (\emptyset) = 0$ ，并且对任意两两不交的可列可测集 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 都有 $μ (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n}) .$ 右侧是非负项级数，可以等于正无穷。三元组 $(X, Σ, μ)$ 称为测度空间。“两两不交”保证没有重复计量；“可列”指定了可以与无限求和直接相配的集合个数。

在开头例子中，选择的是 $Σ = 𝒫 (X)$ 。若改为较粗的 $Σ_{0} = {\emptyset, {a, b}, {c, d}, X},$ 仍是σ代数，可以只记录两大类的质量 $3 / 10$ 与 $7 / 10$ 。此时 ${a}$ 不在所给定义域中， $μ ({a})$ 是未定义，不是零。仅凭这两个类的质量，也无法确定类内部怎样分配：把第一类的 $3 / 10$ 全给 $a$ ，或在 $a, b$ 之间分摊，都会给出不同的扩充。

可加性推出的收支规则

若 $A \subseteq B$ 且二者可测，将 $B$ 拆成不交的 $A$ 与 $B ∖ A$ ，得到 $μ (B) = μ (A) + μ (B ∖ A) \geq μ (A) .$ 这称为单调性。若 $μ (B) < \infty$ ，就可改写为 $μ (B ∖ A) = μ (B) - μ (A)$ ；不把 $\infty - \infty$ 当作一个数。

对测度有限的两个集合，将它们拆成 $A ∖ B$ 、 $A \cap B$ 、 $B ∖ A$ 三块，便得到 $\begin{matrix} μ (A \cup B) & = μ (A) + μ (B) - μ (A \cap B) . \end{matrix}$ 开头表格就是这条公式的逐项核验。若相关测度可能无穷，更稳妥的写法是保留三块非负测度相加，避免无定义的减法。

对可能重叠的可列集合 $E_{n}$ ，令 $D_{1} = E_{1}, D_{n} = E_{n} ∖ ⋃_{k < n} E_{k} (n \geq 2) .$ 每个点只放进它第一次出现的那一块，所以 $D_{n}$ 两两不交，且 $⋃ D_{n} = ⋃ E_{n}$ 。又有 $D_{n} \subseteq E_{n}$ ，于是 $\begin{matrix} μ (⋃_{n} E_{n}) & = \sum_{n} μ (D_{n}) \\ \leq \sum_{n} μ (E_{n}) . \end{matrix}$ 这就是可列次可加性。没有不交条件时得到的是不等式，而不是定义中的等式。

集合递增时的连续性

设可测集合满足 $E_{1} \subseteq E_{2} \subseteq \dots$ ，记 $E = ⋃_{n} E_{n}$ 。则 $μ (E_{n}) ⟶ μ (E) .$ 这一结论称为从下连续性，无需假设总测度有限。

证明。 把每次新加入的部分单独取出： $D_{1} = E_{1}$ 、 $D_{n} = E_{n} ∖ E_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ）。这些块不交，且 $E_{N} = ⋃_{n = 1}^{N} D_{n}, E = ⋃_{n = 1}^{\infty} D_{n} .$ 因此 $\begin{matrix} μ (E_{N}) & = \sum_{n = 1}^{N} μ (D_{n}), \\ μ (E) & = \sum_{n = 1}^{\infty} μ (D_{n}) . \end{matrix}$ 非负级数按部分和的上确界定义；让 $N \to \infty$ ，恰得结论，包括结果为无穷的情形。^[2]

例如在 $ℕ = {1, 2, \dots}$ 上，给点 $k$ 赋概率 $2^{- k}$ ，并令 $P (A) = \sum_{k \in A} 2^{- k} .$ 因为所有权重非负，不交集合中每项恰好出现一次，这样定义的 $P$ 是测度，且 $P (ℕ) = 1$ 。对 $E_{n} = {1, \dots, n}$ ，等比级数给出 $P (E_{n}) = 1 - 2^{- n} ⟶ 1.$ 前面几项是 $1 / 2, 3 / 4, 7 / 8$ ；未计入部分分别为 $1 / 2, 1 / 4, 1 / 8$ 。

自然数各点的概率权重以长度表示，前一项累计二分之一，前两项四分之三，前三项八分之七，剩余四及以后的总权重为八分之一 — 底层集合是自然数；条块长度只编码概率，不表示这些点占据几何区间。每次加入新的不交部分，累计质量接近总量1。

同一批 $E_{n}$ 对计数测度却有 $ν (E_{n}) = n \to \infty = ν (ℕ)$ ；对 $δ_{3}$ ，前两项为零，从第三项起为一。连续性规则相同，极限数值由测度决定。

集合递减时的有限性条件

设 $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \dots$ ，且 $μ (E_{1}) < \infty$ 。令 $E = ⋂_{n} E_{n}$ ，则从上连续性给出 $μ (E_{n}) ⟶ μ (E) .$ 证明可转为已证的递增情形。令 $F_{n} = E_{1} ∖ E_{n}$ ，则 $F_{n}$ 递增，且 $⋃_{n} F_{n} = E_{1} ∖ E .$ 所有这些集合的测度不超过有限的 $μ (E_{1})$ ，因而可作减法： $\begin{matrix} lim_{n} μ (E_{n}) & = μ (E_{1}) - lim_{n} μ (F_{n}) \\ = μ (E_{1}) - μ (E_{1} ∖ E) \\ = μ (E) . \end{matrix}$

有限性不可省略。对自然数上的计数测度，取 $E_{n} = {n, n + 1, \dots}$ ；每个集合都含无穷多个点，所以 $ν (E_{n}) = \infty$ ，但每个固定自然数最终都会被删去，故 $⋂_{n} E_{n} = \emptyset$ ，其测度为零。失败的正是试图从无穷总量中作无穷减法的步骤。^[3]

变式。 对前述概率 $P ({k}) = 2^{- k}$ ，相同尾集的测度为 $P (E_{n}) = \sum_{k = n}^{\infty} 2^{- k} = 2^{1 - n} ⟶ 0.$ 这次 $P (ℕ) = 1$ 有限，从上连续性适用；并不是尾集本身变成了另一批集合。

概率、完备性与几何测度

若 $μ (X) < \infty$ ，称为有限测度；若 $μ (X) = 1$ ，称为概率测度。更一般地，若 $X$ 能写成可列个有限测度集合之并，称为 σ有限。自然数上的计数测度总量无穷，却因单点集合的测度有限而σ有限。^[1]

若一个可测零测集的每个子集仍可测，称该测度空间完备。这不是σ代数封闭性单独保证的性质；研究零测集及“几乎处处”结论时，需要同时知道集合族和测度。

勒贝格测度以区间长度、矩形面积等几何量为基础构造；概率测度还可以具有点质量或由密度赋权。无论对象是点、区域还是事件，先写明 $(X, Σ, μ)$ ，再讨论是否可测、测度多少以及能否交换极限，才能避免把不同的“大小”混在一起。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 John K. Hunter：Measures，Measure Theory，§1.5—1.6，σ代数、可测空间及测度的定义。访问日期：2026年11月1日。
↑ John K. Hunter，同上讲义§1.6，命题1.12（从下、从上连续性）。
↑ John K. Hunter，同上讲义§1.6，例1.13，递减无限尾集的计数测度反例。

[hunter1-1] 1.0 ^1.1 John K. Hunter：Measures，Measure Theory，§1.5—1.6，σ代数、可测空间及测度的定义。访问日期：2026年11月1日。

[hunter-continuity-2] John K. Hunter，同上讲义§1.6，命题1.12（从下、从上连续性）。

[hunter-counter-3] John K. Hunter，同上讲义§1.6，例1.13，递减无限尾集的计数测度反例。

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