零测集

零测集（null set）是相对于某个测度，测度等于零的可测集合。在实数轴上采用通常的勒贝格测度时，它表示一个集合的总长度为零，而不是集合中没有点。一个点、有理数全体，以及不可数的三分康托尔集，都是一维勒贝格零测集。

“零”取决于所用的测度。例如，对单点集合 $\{0\}$，长度测度给出零，计数测度给出一，把全部质量集中在零点的狄拉克测度也给出一。因此，谈论零测集时，应先说明所在空间和测度。

定义与可数并

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间。这里 $\Sigma$ 是允许测量的集合构成的 σ 代数。若 $N\in \Sigma$ 且 $\mu (N)=0$，就称 $N$ 为 $\mu$ 零测集。

零测集最常用的性质是：可数个零测集的并仍是零测集。若 $N_1,N_2,\dots$ 均可测，则它们的并可测；测度的可列次可加性给出 $$0\le \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{N}_k\right)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (N_k)=0.$$ 若 $A\subseteq N$ 且 $A$ 也可测，则由单调性，$0\le \mu (A)\le \mu (N)=0$。这里的“也可测”有实际作用：一般测度空间不保证零测集的每个子集都在 $\Sigma$ 中；这一问题将在后文用完备性处理。

可数并不能换成任意并。虽然每个单点的长度都是零，但 $$[0,1]=\bigcup _{x\in [0,1]}\{x\}$$ 的长度是一。这是不可数个集合的并，测度公理没有要求对这样的并把各点的测度相加。

长度为零的覆盖判据

对任意 $N\subseteq ℝ$，下述条件等价于 $N$ 为一维勒贝格零测集：对每个 $\epsilon >0$，都能找到可数个开区间 $I_k$，使 $$N\subseteq \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_k,\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|I_k|<\epsilon .$$ 其中 $|I_k|$ 是区间长度。重要的是覆盖全部点，且总长度可以按要求任意缩小；只画出一组很短的区间，或只覆盖有限个点，都不能证明零测。欧氏空间中将开区间换成开长方体、将长度换成体积，可得到相应的高维判据。

这一判据从外测度的定义而来。外测度 $m^{\ast }(N)$ 是所有可数区间覆盖总长度的下确界。若对每个正 $\epsilon$ 都有上述覆盖，就有 $0\le m^{\ast }(N)<\epsilon$，因而 $m^{\ast }(N)=0$。反过来，下确界等于零就允许选出总长度小于任意正 $\epsilon$ 的覆盖。外测度为零的集合一定勒贝格可测，所以这里无需预先证明 $N$ 可测；其理由在完备性一节给出。

有理数的逐点覆盖

将 $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ 不重复地列成 $q_1,q_2,\dots$。例如先取 $0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4$，再继续枚举剩余有理数。给定 $\epsilon >0$，以 $q_k$ 为中心，取长度为 $\epsilon 2^{-k-1}$ 的开区间： $$I_k=(q_k-\epsilon 2^{-k-2},q_k+\epsilon 2^{-k-2}).$$ 每个点都在自己的区间内，而由等比级数， $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|I_k|=\epsilon \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k-1}=\frac{\epsilon }{2}<\epsilon .$$ 因此 $m(\mathbb{Q}\cap [0,1])=0$。同一方法适用于任何可数实数集，包括不有界的集合；覆盖区间无需共同落在某个有界范围内。

取 ε=1/2，只画枚举中的前四个覆盖区间，开端点用空心圆表示。下方将最短的第四段局部放大8倍，其长度仍为1/64。前四段长度和为15/64，完整可数覆盖的总长度为1/4；区间允许伸出[0,1]。

有理数在每个非空开区间内都有点，因而是稠密的；稠密性并不迫使总长度为正。这两种描述回答不同的问题：前者关心每个邻域内有没有点，后者关心能用多短的区间覆盖所有点。

作为变式，若目标是覆盖 $\{\sqrt{2}+k:k\in \mathbb{Z}\}$，并使总长度小于 $10^{-3}$，先把这些点依次列出，再用上述公式取 $\epsilon =10^{-3}$ 即可。总长度为 $5\times 10^{-4}$，与点集是否有界无关。若改为计数测度，这个集合的测度是无穷大，而不是零。

不可数的零测集：三分康托尔集

从 $C_0=[0,1]$ 开始，删去中间开区间 $(1/3,2/3)$，得到 $C_1$。此后对每个保留闭区间重复同一操作，第 $n$ 步得到 $C_n$。三分康托尔集定义为 $$C=\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n.$$ 每一步都保留端点。第 $n$ 步有 $2^n$ 个互不相交的闭区间，每个长 $3^{-n}$，因此 $$m(C_n)=2^n{3}^{-n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n.$$ 由于 $C\subseteq C_n$ 对每个 $n$ 都成立， $$0\le m(C)\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^n⟹m(C)=0.$$ 这里 $C$ 是闭集，故可测。证明只用了有限阶段的长度计算和测度的单调性，不依赖从屏幕上辨认无限次删去后的图形。

实线表示尚未删去的闭区间，端点仍保留。右侧是每一有限阶段的总长度；图中没有把最后一行当作极限集合。

不可数性的证明。 对每个只由零、一组成的无限序列 $b=(b_1,b_2,\dots )$，构造 $$x_b=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2b_k}{3^k}.$$ 每选择一次 $b_k=0$ 或 $1$，就在当前区间中选择左边或右边的三分之一；嵌套区间的长度趋于零，交集中的点就是 $x_b\in C$。若两个序列第一次在第 $j$ 位不同，则这一位造成的差为 $2/3^j$，后面所有位最多抵消 $$\sum _{k=j+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{3^k}=\frac{1}{3^j}.$$ 故两点之差的绝对值至少为 $3^{-j}>0$，映射 $b\mapsto x_b$ 是单射。无限二进制序列不可数：若声称已将它们逐行列出，将第 $k$ 行的第 $k$ 位翻转，就得到一个不在名单中的序列。因此 $C$ 不可数。零测与点的可数性不能相互替代。

空内部也不等于零长度

三分康托尔集没有非空开区间，但反方向并不成立。可以在 $[0,1]$ 中作另一种删除：第 $n\ge 1$ 步，从上一阶段的每个保留区间中央删去一段长度为 $4^{-n}$ 的开区间。第 $n$ 步共删去 $2^{n-1}$ 段，该步删除的总长度为 $$2^{n-1}{4}^{-n}=2^{-n-1}.$$ 不同阶段的删除区间也不相交。记剩余闭集的交为 $S$，由可列可加性， $$m(S)=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n-1}=\frac{1}{2}.$$ 每一步确实有空间完成删除：第 $n$ 步之后，每个保留区间的长度是 $$L_n=2^{-n}(\frac{1}{2}+2^{-n-1})>0;$$ 将 $L_{n-1}$ 减去 $4^{-n}$ 后再除以二，正好得到 $L_n$。而 $L_n\to 0$，所以 $S$ 不可能含有非退化区间：任何这样的区间若一直保留，就必须包含在每一阶段的某一个连通分段内，其长度将不得超过每个 $L_n$。这是胖康托尔集的一种构造；它闭且内部为空，却有正长度。

横轴只取整数步骤n，点之间的连线帮助追踪。三分删除的剩余长度为(2/3)的n次方；本例逐步缩小删除量后，剩余长度为 $1/2+2^{-(n+1)}$。

零测子集与完备性

测度空间称为完备的，是指每个可测零测集的任意子集都可测。这样的子集必然也零测。勒贝格测度的完备性可以直接从外测度看出。设 $m^{\ast }(A)=0$，则对任意 $E\subseteq ℝ$， $$m^{\ast }(E\cap A)=0.$$ 外测度的次可加性和单调性分别给出 $$\begin{array}{cc}{m}^{\ast }(E)& \le m^{\ast }(E\cap A)+m^{\ast }(E\setminus A)\\ & =m^{\ast }(E\setminus A),\\ m^{\ast }(E\setminus A)& \le m^{\ast }(E).\end{array}$$ 于是二者相等，正好满足勒贝格可测性的分割判据。因此 $A$ 可测，且 $m(A)=0$。若 $A\subseteq N$、$m(N)=0$，由 $m^{\ast }(A)\le m^{\ast }(N)=0$ 就可应用这一结论。推理中没有使用未定义的 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$。

一般测度空间确实可能不完备，而且无需复杂集合就能举例。取 $X=\{a,b,c\}$， $$\Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c\},X\},$$ 令集合的测度在包含 $c$ 时为一、不含时为零。这是限制在 $\Sigma$ 上的狄拉克测度。集合 $N=\{a,b\}$ 可测且零测，但其子集 $\{a\}$ 不在 $\Sigma$ 中，所以不能在原空间里谈它的测度值。添加这类遗漏的零测子集并延拓测度，称为测度空间的完备化。

在零测集上改变函数

称一个性质几乎处处成立，是指存在一个可测零测集 $N$，使该性质在 $X\setminus N$ 的每一点成立。例如，${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}}$ 在实数轴上几乎处处等于零，但它并非处处等于零；每个有理点上的值仍是一。

若测度空间完备，$f:X\to ℝ$ 可测，且任意函数 $g:X\to ℝ$ 在某个可测零测集 $N$ 之外与 $f$ 相等，则 $g$ 也可测。对每个实数 $t$， $$\begin{array}{cc}\{g>t\}=& (\{f>t\}\setminus N)\\ & \cup (\{g>t\}\cap N).\end{array}$$ 右边第一项可测，第二项是零测集的子集，由完备性也可测；再用可测函数的阈值判别即可。

在上述三点空间里，令 $f\equiv 0$、$g={\mathrm{𝟏}}_{\{a\}}$。两者在零测集 $\{a,b\}$ 之外相等，但 $\{g>1/2\}=\{a\}$ 不可测，所以 $g$ 不可测。这同时核对了证明中完备性起作用的位置。

在完备测度空间中，可测非负函数若几乎处处相等，它们的勒贝格积分相等；对可积的实值函数也一样。这条积分性质见积分的构造及单调性，并不意味着点值、连续性或最大值也不受修改影响。例如在 $[0,1]$ 上将零函数在 $x=1/2$ 的值改成一，积分仍为零，函数却在该点不连续，最大值也从零变为一。

概率与维数中的解释

在均匀分布于 $[0,1]$ 的概率模型中，有理数集合的概率为零。因此一次抽取几乎必然得到无理数。这是该概率模型下的结论，不是说有理数不存在，也不适用于只在有限精度网格上抽数的计算机程序；后者是离散模型，需要用它自己的点概率计算。

空间维数也须固定。线段 $[0,1]\times \{0\}$ 在平面中的二维勒贝格测度为零：任给 $\epsilon >0$，可用开长方形 $(-\delta ,1+\delta )\times (-\delta ,\delta )$ 覆盖，取 $\delta =min(1,\epsilon /12)$ 时，面积 $$2\delta (1+2\delta )\le 6\delta <\epsilon .$$ 但沿线段方向计算的一维长度是一。面积为零与长度为正没有矛盾；二者使用的测度不同。

相关条目

• 测度：可列可加性、单调性和集合列的极限。
• 勒贝格测度：外测度、可测性与长度、面积的关系。
• 可测函数、简单函数：零测修改及积分构造中的函数。