反函数定理

反函数定理给出多元映射在一点附近可逆的充分条件。设 $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 在 $a$ 附近一阶连续可微，雅可比矩阵 $DF(a)$ 可逆。则存在 $a$ 和 $F(a)$ 的邻域，$F$ 在两者之间有一阶连续可微的局部反函数 $G$，且 $$DG(F(a))=[DF(a){]}^{-1}.$$ 它只说局部。即便每一点的雅可比都非奇异，也不能未经其他条件就宣称在整个定义域上一一对应。

可复算的线性例子

令 $F(x,y)=(x+y,x-y)$。雅可比 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，行列式为 $-2\ne 0$。给定输出 $(u,v)$，解 $u=x+y,v=x-y$ 得 $G(u,v)=((u+v)/2,(u-v)/2)$，其雅可比正是 $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$。代入 $G(F(x,y))=(x,y)$ 验算。

可逆雅可比在证明中的作用

令 $A=DF(a)$。因为 $DF$ 连续，可取 $a$ 周围足够小的闭球，使 $\Vert I-A^{-1}DF(x)\Vert \le 1/2$。对靠近 $F(a)$ 的目标 $z$，设 $T_z(x)=x-A^{-1}(F(x)-z)$。由中值积分沿线段比较可得 $\Vert T_z(x)-T_z(y)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert x-y\Vert$；再把球和目标范围取得足够小，$T_z$ 还把该球送回自身。反复迭代是压缩的，迭代点列收敛到唯一不动点 $x$；$T_z(x)=x$ 等价于 $F(x)=z$。这给局部存在和唯一。

最后从恒等式 $F(G(z))=z$ 求导，若已知 $G$ 可微便得 $DF(G(z))DG(z)=I$。其可微性也可直接由 $F(x+h)-F(x)=DF(x)h+o(\Vert h\Vert )$ 和附近可逆矩阵的一致有界逆推出：输出增量趋零时，输入增量同阶趋零，从而 $DG(z)=[DF(G(z)){]}^{-1}$。例如一维 $F(x)=x^2$ 在 $x=0$ 导数为零，附近正负 $x$ 输出相同，不能在整个零点邻域取反函数；在 $x=1$ 则可局部取反。

参考资料与相关词条

• MIT 18.024：逆映射与隐函数课程笔记。
• 相关：单射与满射、多元函数的可微性、线性化与雅可比矩阵、隐函数定理。