隐函数定理

隐函数定理回答一个关系 $F(x,y)=0$ 何时能在某一点附近把 $y$ 唯一地写成 $x$ 的函数。设 $F$ 在 $(a,b)$ 附近一阶连续可微、$F(a,b)=0$，并且 $F_y(a,b)\ne 0$。则存在 $a$ 与 $b$ 附近的小区间，使方程唯一确定一个一阶连续可微函数 $y=g(x)$，满足 $g(a)=b$。

圆上哪一段能写成函数

设 $F(x,y)=x^2+y^2-1$。在 $(a,b)=(\sqrt{3}/2,1/2)$ 有 $F_y=2b=1\ne 0$，局部可以取上半圆 $g(x)=\sqrt{1-x^2}$。把 $F(x,g(x))=0$ 求导，得 $F_x+F_y{g}^{\prime }=0$，故 $$g^{\prime }(a)=-\frac{F_x(a,b)}{F_y(a,b)}=-\sqrt{3}.$$ 图上切线向右下倾斜，与斜率一致。在 $(1,0)$ 则有 $F_y=0$，圆的上下两支汇到同一点，附近不能将整段圆写成唯一的可微 $y(x)$；但可以交换角色，把 $x$ 写成 $y$ 的函数。

局部唯一性的来由

因 $F_y(a,b)\ne 0$ 且连续，缩小邻域后 $F_y$ 保持同号。固定邻近的 $x$，函数 $y\mapsto F(x,y)$ 于是严格单调；在 $x=a$ 时，$b$ 两侧的函数值异号，连续性保证邻近 $x$ 仍保持两侧异号。介值定理给两端之间的一个零点，严格单调保证仅此一个。若 $x\to a$ 而相应零点不趋向 $b$，取收敛子列会与局部唯一性矛盾；再用一元中值定理比较 $F(x+h,g(x+h))$ 与 $F(x,g(x))$，便得到上面的导数公式及其连续性。这展示了非零偏导在证明中真正起作用的位置。

“$F_y=0$”只说明本定理不能保证，不自动证明局部函数不存在；例如 $F(x,y)=y^3-x^3$ 在原点偏导为零，却仍有唯一光滑解 $y=x$。多维版要求对待解变量的雅可比子矩阵可逆，导数由相应线性方程组求得。

参考资料与相关词条

• MIT 18.024：隐函数与局部求导课程笔记。
• 相关：隐函数求导、偏导数、反函数定理、线性化与雅可比矩阵。