向量场

向量场（vector field）是在一个空间的每一点指定一个向量的规则。在平面或空间中，这个向量可以表示该处的速度、力或某个函数增长的方向；在曲面上，它必须属于该点的切平面。向量场记录的是“在这里向哪边、以多大的瞬时变化率移动”，不是把整条运动轨迹直接作为输入。

例如，在平面每一点 $(x, y)$ 指定 $X (x, y) = (- y, x) .$ 在 $(2, 0)$ 处，向量为 $(0, 2)$ ，指向上方；在 $(0, 2)$ 处，向量为 $(- 2, 0)$ ，指向左方。这些箭头沿着以原点为圆心的圆的切线排列。若把它当作速度场，粒子会绕原点运动，但圆的半径、运动方向和速度仍须由方程确定。

点上的向量与整个场

设 $U \subseteq ℝ^{n}$ 为开集。欧氏空间中的向量场是函数 $X : U ⟶ ℝ^{n}, X (p) = (X^{1} (p), \dots, X^{n} (p)) .$ 上标是分量编号，不是乘方。各分量连续、 $C^{1}$ 或光滑时，相应称为连续、 $C^{1}$ 或光滑向量场。本文的几何讨论以光滑场为主，微分方程部分会单独说明所需条件。^[1]

画图时把箭尾放在 $p$ ，把箭头画到 $p + s X (p)$ ，其中 $s > 0$ 是整张图共用的显示比例。箭头末端只是画图位置，不一定是粒子稍后精确到达的位置。若为了看清方向而把所有箭头归一化为等长，原场的大小信息就丢失了；归一化还不能在零向量处直接进行。

旋转场在格点处的箭头及半径为二的圆，箭头按统一比例绘制 — 场 X=(-y,x) 的箭头采用同一比例，远离原点的箭头更长。金色圆是初始点 (2,0) 所在的轨迹；圆上的速度与半径垂直。

向量可以为零。满足 $X (p) = 0$ 的点称为场的零点；把场用作自主微分方程的右端时，也称平衡点。上例唯一的零点是原点。向量场之间可在同一点逐点相加，也可乘以标量函数： $(X + Y) (p) = X (p) + Y (p), (f X) (p) = f (p) X (p) .$ 相加的是同一个点的向量；在一般曲面上，不同点的切平面不同，不能不加说明就把它们当作同一个向量空间中的元素相减。

速度场与积分曲线

把时间记作 $t$ 。向量场 $X$ 的积分曲线是可微曲线 $γ : I \to U$ ，满足 $γ^{'} (t) = X (γ (t)) (t \in I) .$ 指定 $0 \in I$ 和 $γ (0) = p$ 后，就得到一个初值问题。等式要求曲线在每一时刻的速度都与所在点的场值一致，不仅要求方向平行。把 $X$ 乘以常数二，一般会使同一条非平衡轨迹的移动速度加倍。

对于开集上的 $C^{1}$ 场，常微分方程的局部存在唯一性定理保证每个初值有一个在足够小时间区间上定义的唯一解；这是本节使用的先修定理，并不由箭头图证明。更一般的充分条件是场连续且对位置局部 Lipschitz。局部结论也不保证解对所有实数时间存在。^[1]

以上述旋转场为例，设初值为 $(a, b)$ 。方程为 $x^{'} = - y, y^{'} = x, x (0) = a, y (0) = b .$ 对第一式再求导，得到 $x^{″} = - y^{'} = - x$ 。满足初值 $x (0) = a$ 、 $x^{'} (0) = - b$ 的解为 $x (t) = a \cos t - b \sin t .$ 再用 $y = - x^{'}$ ，得到 $y (t) = a \sin t + b \cos t .$ 直接求导可逐项核对两条原方程及初值。因此该表达式确实给出解，并由上述唯一性定理确定它就是这个初值的解。

轨迹的半径也可不先求解而推出。沿任意解有 $\frac{d}{d t} (x^{2} + y^{2}) = 2 x x^{'} + 2 y y^{'} = 2 x (- y) + 2 y x = 0.$ 所以 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 恒定。这个不随运动改变的量称为第一积分。它只确定轨迹所在的圆，不单独确定粒子沿圆的速度和到达时刻。

取 $(a, b) = (2, 0)$ ，则 $γ (t) = (2 \cos t, 2 \sin t)$ ，在 $t = 0, π / 2, π, 3 π / 2$ 依次经过 $(2, 0), (0, 2), (- 2, 0), (0, - 2)$ 。其速度大小为 $\sqrt{(- 2 \sin t)^{2} + (2 \cos t)^{2}} = 2,$ 角速度为一，绕一周所需时间为 $2 π$ 。初值在原点时，解则恒为原点。

变式。 把场改为 $Y (x, y) = 2 (- y, x)$ ，仍从 $(2, 0)$ 出发。代入可得 $γ_{Y} (t) = (2 \cos 2 t, 2 \sin 2 t)$ ，轨迹圆不变，速率为四，周期为 $π$ 。若乘数是正的、随位置变化的光滑函数，非零场处局部仍沿同一方向走，但经过不同位置所需时间会变化；乘数变号或等于零时还须重新分析。

曲面上的切向条件

在平面上，所有点的切空间都可自然识别为 $ℝ^{2}$ 。曲面则有额外约束。例如单位球面 $S^{2} = {p = (x, y, z) \in ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}$ 在点 $p$ 的切平面方向空间为 $T_{p} S^{2} = {v \in ℝ^{3} : p \cdot v = 0} .$ 这里的切向量画在 $p$ 处，表达式中的 $v$ 是其方向和大小；切平面本身的点为 $p + v$ 。若 $γ (t)$ 留在球面上，对 $γ (t) \cdot γ (t) = 1$ 求导，就得到 $γ \cdot γ^{'} = 0$ ，说明球面运动的速度必定切向。

因此， $N (p) = p$ 虽然是一个从球面到三维向量的光滑映射，却是法向场，不是球面上的切向量场。相反， $X (x, y, z) = (- y, x, 0)$ 满足 $(x, y, z) \cdot (- y, x, 0) = 0$ ，所以确实是球面的切向量场。它的积分曲线保持 $z$ 不变，在各条纬线上转动；南北两极的场值为零。这里“小圆纬线是积分曲线”并不表示它是测地线：后者要求曲面内的速度沿自身平行，定义包含另一种几何条件。

球面旋转场在纬线上切向，两极的箭头退化为零 — 单位球面上的 X=(-y,x,0) 沿纬线切向；取纬度参数 z=0.6 时，圆的半径为 0.8。投影图只表示空间关系，屏幕上的箭长不能直接当作三维长度。

一般地，光滑流形 $M$ 在每点 $p$ 都有切空间 $T_{p} M$ ，可把它理解为所有通过该点的光滑曲线可能具有的瞬时速度所组成的线性空间。向量场要为每个 $p$ 选取 $X_{p} \in T_{p} M$ ，而且在局部光滑坐标下，分量随点光滑变化。把各点切空间合起来得到切丛 $T M$ ；严格地说，向量场是投影 $T M \to M$ 的一个光滑截面，即选取向量后仍以原来的 $p$ 为基点。^[2]

坐标分量与几何向量

坐标改变时，分量通常也改变。用局部坐标 $x^{1}, \dots, x^{n}$ 表示场，可以写成 $X = \sum_{i = 1}^{n} X^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}} .$ 符号 $\partial / \partial x^{i}$ 表示沿第 $i$ 个坐标增加的切向基向量。若另取坐标 $u^{a} = u^{a} (x)$ ，沿积分曲线使用链式法则，有 $\frac{d u^{a}}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} \frac{d x^{i}}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} X^{i} .$ 所以新坐标分量为 ${\tilde{X}}^{a} = \sum_{i} (\partial u^{a} / \partial x^{i}) X^{i}$ 。这不是两个不同的场，而是同一切向量在两套基下的表达。^[2]

在原点以外的一个极坐标区域内， $x = r \cos θ$ 、 $y = r \sin θ$ ，有 $\frac{\partial}{\partial r} = (\cos θ, \sin θ), \frac{\partial}{\partial θ} = (- r \sin θ, r \cos θ) .$ 于是旋转场正好是 $X = \partial / \partial θ$ ，极坐标分量为 $(0, 1)$ 。但 $\partial / \partial θ$ 的欧氏长度为 $r$ ，并非单位向量。角坐标每增加一弧度，在较大的圆上走过的弧长更大。

在点二零处，径向基向量长度一，角向基向量长度二 — 在 p=(2,0) 处，极坐标基向量为 ∂r=(1,0)、∂θ=(0,2)。场的角分量等于一，实际速度大小却等于二。虚线圆只帮助识别角向切线。

例如在 $(r, θ) = (2, 0)$ ， $X$ 的直角坐标分量是 $(0, 2)$ ，极坐标分量是 $(0, 1)$ 。若改用单位角向基 $e_{θ} = (- \sin θ, \cos θ)$ ，则 $X = r e_{θ}$ ；这是又一套基，不能把 $e_{θ}$ 与 $\partial / \partial θ$ 混同。极坐标在原点失效，而原来的旋转场在原点仍光滑；坐标表达的困难不一定是场本身的奇点。

场对函数的作用

给定光滑标量函数 $f$ ，场在各点给出一个方向导数： $X f = \sum_{i} X^{i} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} .$ 链式法则说明，沿 $X$ 的积分曲线有 $\frac{d}{d t} f (γ (t)) = (X f) (γ (t)) .$ 所以前面的半径守恒恰好就是 $X (x^{2} + y^{2}) = 0$ 。若改取 $f = x$ ，则 $X f = - y$ ，一般不为零；同一个运动只保持某些量，不保持任意函数。

在具有黎曼度量 $g$ 的空间中，函数的梯度是由 $g ({grad}_{g} f, v) = d f (v)$ 定义的另一个向量场。向量场并不都来自某个全局势函数。例如在欧氏平面，若旋转场是某个 $C^{2}$ 函数的梯度，就须有 $f_{x} = - y, f_{y} = x$ ，从而 $f_{x y} = - 1$ 、 $f_{y x} = 1$ ，与混合偏导数相等矛盾。因而这个场不是梯度场，尽管它处处光滑且轨迹非常规则。

局部解、唯一性与全局时间

局部光滑性不能防止解在有限时间逃向无穷。实直线上的光滑场 $X (x) = x^{2}$ ，从 $x (0) = 1$ 出发，分离变量并代入核对得到 $x (t) = \frac{1}{1 - t}, - \infty < t < 1.$ 当 $t \to 1^{-}$ 时解无界，不能作为取有限实数值的解延伸经过 $t = 1$ 。旋转场的解对所有时间存在，是它本身的性质，不能从“一切光滑场都有局部解”直接推出。

连续性本身也不足以保证唯一性。考虑 $X (x) = 2 \sqrt{| x |}$ 和初值零。除恒零解以外，对任意 $a \geq 0$ ， $x_{a} (t) = {\begin{matrix} 0, & t \leq a, \\ (t - a)^{2}, & t \geq a \end{matrix}$ 在整个实轴上可微且满足 ${x_{a}}^{'} = 2 \sqrt{| x_{a} |}$ 。拼接点两侧导数都为零，所以确实是解。该场在零附近不满足局部 Lipschitz 条件，粒子可以在零点停留不同时间再出发。这个反例把“存在一个速度箭头”与“初值唯一确定一条运动”区分开来。

参考资料

↑ ^1.0 ^1.1 Victor Guillemin、Peter J. Haine：Differential Forms，2018年3月28日草稿，§2.1“Vector fields and one-forms”、§2.2“Integral Curves for Vector Fields”。采用印刷页码33—43。访问日期：2026年10月25日。
↑ ^2.0 ^2.1 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 2: Manifolds，Universität Mannheim，2024年春季，§2.3“Vectors”及§2.4“Vector Bundles”。访问日期：2026年10月25日。

[gh-1] 1.0 ^1.1 Victor Guillemin、Peter J. Haine：Differential Forms，2018年3月28日草稿，§2.1“Vector fields and one-forms”、§2.2“Integral Curves for Vector Fields”。采用印刷页码33—43。访问日期：2026年10月25日。

[og2-2] 2.0 ^2.1 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 2: Manifolds，Universität Mannheim，2024年春季，§2.3“Vectors”及§2.4“Vector Bundles”。访问日期：2026年10月25日。

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向量场