激波

激波（shock wave）是连续介质模型中以有限速度传播的强烈变化层；在理想化的双曲守恒律里，它被表示为状态的移动跳跃。跳跃两侧可以分别光滑，但间断位置不再具有通常意义下的空间导数，因此需要积分形式的守恒条件。守恒决定允许的传播速度，熵条件进一步排除虽守恒却不符合耗散方向的间断。

本文用一维标量守恒律说明基本数学机制。真实气体激波还涉及质量、动量和能量组成的方程组，不能把某个标量模型的数值直接当作气体压强或声速。

两侧传播速度不同的初始台阶

考虑伯格斯方程的无黏形式 $$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0.$$ 在光滑区域，它等价于 $u_t+u{u}_x=0$，局部特征速度为状态值 $u$。取无量纲教学初值 $$u(x,0)=\{\begin{array}{cc}3,& x<0,\\ 1,& x>0.\end{array}$$ 左侧特征速度为三，右侧为一：后面的较大状态追上前面的较小状态。如果仍把所有原始特征直线完整延长，同一点会被要求同时取三和一两个不同状态，经典单值解便不可能成立。

设两侧状态之间的界面为 $x=X(t)$。我们要确定的是界面速度 $s=X^{\prime }(t)$，而不是任选一侧特征的速度。这个问题的答案来自守恒。

移动间断的守恒条件

一般标量守恒律写成 $$u_t+f(u{)}_x=0,$$ 其中 $f(u)$ 是通量。对任意固定区间 $[a,b]$，守恒的含义是 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_a^{b}u(x,t)\mathrm{d}x=f(u(a,t))-f(u(b,t)).$$ 对含跳跃的函数，应以这种积分收支或等价的弱形式理解方程，不能在间断点直接做 $u{u}_x$ 的普通乘法。

令左右极限分别为 $u_L,u_R$，统一记 $[g]=g_R-g_L$。对一个局部常状态跳跃，可写 $$u(x,t)=u_L+[u]H(x-X(t)),$$ 其中阶跃函数 $H$ 在负半轴为零、正半轴为一。在分布意义下，阶跃的导数是集中在界面的 delta，因此 $$u_t=-s[u]{\delta }_{X(t)},f(u{)}_x=[f]{\delta }_{X(t)}.$$ 代入守恒律，delta 的系数必须为零，得到Rankine–Hugoniot 条件 $$s[u]=[f],s=\frac{f(u_R)-f(u_L)}{u_R-u_L}(u_L\ne u_R).$$ 对两侧随时空变化的分段光滑解，相同条件作用于界面两侧的瞬时迹值。

在本例中 $f(u)=u^2/2$，所以 $$s=\frac{u_R^2-u_L^2}{2(u_R-u_L)}=\frac{u_L+u_R}{2}=2.$$ 于是界面为 $X(t)=2t$，解在界面左边等于三、右边等于一。在 $t=1/2$，跳跃位于 $x=1$；在 $t=1$，位于 $x=2$。界面上单点如何赋值不改变积分意义下的解。

还可在随界面移动的小窗口里核验。相对界面，左侧的净输入为 $f(u_L)-s{u}_L=9/2-6=-3/2$，右侧对应值为 $f(u_R)-s{u}_R=1/2-2=-3/2$。两侧相等，界面不会凭空储存一份遗漏的守恒量。这里的“相对通量”允许为负，其符号表示相对于窗口运动的方向。

横轴是位置，纵轴是时间。左右信息都指向红色间断线；图中没有把相撞后互不相容的原始特征继续穿过界面。

弱解保留了守恒

精确地说，给定初值 $u_0$，局部有界函数 $u$ 若对每个光滑、紧支撑的测试函数 $\phi (x,t)$（定义在 $t\ge 0$）满足 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_{ℝ}(u{\phi }_t+f(u){\phi }_x)\mathrm{d}x\mathrm{d}t+{\int }_{ℝ}{u}_0(x)\phi (x,0)\mathrm{d}x=0,$$ 便称其为相应的弱解。光滑解经过分部积分一定满足此式；分段常值的跳跃也能满足它，前提正是上述跳跃条件。弱形式把导数移给光滑的测试函数，从而允许 $u$ 本身不光滑。

但是允许弱解之后，唯一性不再只由守恒保证。把初值反过来，取 $u_L=1,u_R=3$，照样可用 $s=2$ 构造一个向上跳的弱解。这时左右特征向外分开，间断却凭空把信息向两侧发出。另一种满足相同初值的解是连续展开的稀疏波。需要额外条件来区分两者。

熵条件与压缩方向

对光滑解，取二阶连续可微的凸函数 $\eta (u)$，再选满足 $q^{\prime }(u)={\eta }^{\prime }(u)f^{\prime }(u)$ 的熵通量，链式法则给出 $$\eta (u{)}_t+q(u{)}_x=0.$$ 对熵解，要求对每个这样的凸熵对都有分布不等式 $$\eta (u{)}_t+q(u{)}_x\le 0.$$ “非正”的意义是与非负测试函数配对后非正。这是一种数学上的耗散约定；它与物理热力学熵增的符号并不直接相同。这里的凸熵常被理解为可耗散的数学能量。

对 Burgers 通量，取 $\eta (u)=u^2/2$、$q(u)=u^3/3$。跨越匀速跳跃时，熵不等式左侧的集中系数为 $$[q]-s[\eta ]=\frac{u_R^3-u_L^3}{3}-\frac{u_L+u_R}{4}(u_R^2-u_L^2)=\frac{(u_R-u_L{)}^3}{12}.$$ 所以向下跳 $u_L>u_R$ 时该量为负，而向上跳时为正。前一个 $3\to 1$ 例子的系数为 $-2/3$；反过来的 $1\to 3$ 跳跃系数为 $2/3$，被熵条件排除。这里用一个熵就足以排除这个具体的向上台阶，并不是把一般弱解的完整熵定义缩减为任意一次二次能量检查。

对严格凸的标量通量，在不同的常状态之间，压缩激波满足 Lax 形式的条件 $$f^{\prime }(u_L)>s>f^{\prime }(u_R).$$ Burgers 中正是 $3>2>1$。特征从两侧流入间断，是上述熵方向的几何表现；它不同于把“激波速度一定大于两侧速度”当作普遍定义。

稀疏波的完整对照

对反向初值 $u_L=1,u_R=3$，寻找只依赖 $\zeta =x/t$ 的解 $u=w(\zeta )$。代入光滑区域的方程： $$u_t=-\frac{\zeta }{t}{w}^{\prime },u_x=\frac{1}{t}{w}^{\prime },(w-\zeta )w^{\prime }=0.$$ 因此每段要么为常数，要么满足 $w=\zeta$。把它与两侧常状态连续连接，得到 $$u(x,t)=\{\begin{array}{cc}1,& x\le t,\\ x/t,& t<x<3t,\\ 3,& x\ge 3t,\end{array}t>0.$$ 在两条连接线上函数连续，只有斜率变化；对任何固定 $x\ne 0$，令 $t\downarrow 0$ 都恢复给定台阶。中间扇区用一族不同速度的特征填满，称为稀疏波。它是该 Riemann 初值的熵解。

两图的初值方向不同。稀疏波在 x=1/2 与 x=3/2 之间线性上升；上图的虚竖线只标示跳跃位置，不表示函数在该点同时取所有中间值。

黏性层与数值守恒

若加入小黏性 $\nu >0$，得到 $u_t+(u^2/2{)}_x=\nu u_{xx}$。对于压缩状态 $u_L>u_R$，有连接两侧的光滑行波；厚度随黏性减小而收缩，极限中的移动跳跃保留熵耗散。伯格斯方程词条给出这一行波的完整推导。这个黏性极限为熵选择提供了与平滑物理过程相连的解释，不能把守恒条件当成唯一筛选规则。

计算激波时，保守离散也很重要。有限体积更新采用 $$u_i^{n+1}=u_i^n-\frac{\Delta t}{\Delta x}(F_{i+1/2}^n-F_{i-1/2}^n),$$ 其中 $u_i^n$ 是单元平均值，$F$ 是单元交界的数值通量。相邻单元共用同一个界面通量，求和时内部收支相消，才与积分守恒相配。守恒本身仍不足以保证一个数值方法收敛到熵解；还要检查稳定性和熵一致性。把非保守的差分 $u{u}_x$ 机械用于跳跃附近，可能得到错误的传播速度。

对气体等方程组，跳跃条件变为 $s[𝑼]=[𝑭]$，要同时满足所有守恒方程，不能逐分量随意相除。本文标量例子说明的是间断传播的逻辑结构，其结论的适用范围由通量、变量和模型假设共同限定。

相关条目

• 特征曲线法与伯格斯方程
• 偏微分方程、交通流模型
• 能量估计