闵可夫斯基不等式

闵可夫斯基不等式（Minkowski's inequality）断言：对同一测度下的两个 $L^p$ 函数，当 $1\le p\le \mathrm{\infty }$ 时，和的大小不超过两个大小之和。它是勒贝格空间中的三角不等式；有限个数的版本则是向量 $p$ 范数的三角不等式。

在平面中，取 $a=(3,0)$、$b=(0,4)$。两个向量的长度分别是三与四，而它们的和 $(3,4)$ 长五，所以 $5\le 3+4$。不等式把这条熟悉的折线路径与直线路径的关系，推广到不同幂次以及函数空间。

有限维形式与积分形式

给定 $1\le p<\mathrm{\infty }$，对 $N$ 维实向量定义 $$\Vert a{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^N|a_i{|}^p)}^{1/p}.$$ 则闵可夫斯基不等式为 $$\Vert a+b{\Vert }_p\le \Vert a{\Vert }_p+\Vert b{\Vert }_p.$$ 当 $p=\mathrm{\infty }$ 时，定义 $\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i}{max}|a_i|$，结论仍成立。这里同一不等式的三个范数使用同一个指数 $p$；不能任意给三项换成不同的指数。

更一般地，设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 为任意测度空间，$f,g:X\to ℝ$ 可测，且 $$\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty },\Vert g{\Vert }_p<\mathrm{\infty }.$$ 当 $p<\mathrm{\infty }$ 时，范数指 ${(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}$；当 $p=\mathrm{\infty }$ 时，指 $inf\{M\ge 0:|f|\le M\text{ 几乎处处}\}$。则 $f+g$ 也有有限范数，并满足 $$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$ 积分是勒贝格积分，结论不要求总测度有限或测度σ有限。有限和是有限集合上计数测度的特例；非负权重求和则把权重作为各点的测度。

三、四、五的算例

在 $p=2$ 时，开头的两个向量给出 $$\begin{array}{cc}\Vert a{\Vert }_2& =\sqrt{3^2+0^2}=3,\\ \Vert b{\Vert }_2& =\sqrt{0^2+4^2}=4,\\ \Vert a+b{\Vert }_2& =\sqrt{3^2+4^2}=5.\end{array}$$ 图中先沿 $a$ 走三，再沿平移后的 $b$ 走四，到达 $a+b$；从原点直接到终点只需长度五。这个几何解释对应的是 $p=2$，并不表示任意 $p$ 范数都等于通常画图时的欧氏长度。

a=(3,0)、b=(0,4)。折线长度3+4大于直接位移的长度5；三条线段分别对应不等式的三个范数。

保持同一数据，改变指数，可以重新核对： $$\begin{array}{cc}p=1:& 7\le 3+4=7,\\ p=3:& \sqrt[3]{91}\le 3+4=7,\\ p=\mathrm{\infty }:& 4\le 3+4=7.\end{array}$$ 第一行达到等号，第二、三行严格小于。这说明是否达到等号也依赖指数；在一阶范数里，两段位移虽然不在同一直线上，逐坐标却没有正负抵消。

把向量换成函数也能得到完全相同的计算：在 $[0,2)$ 上令 $f=3{\mathrm{𝟏}}_{[0,1)}$、$g=4{\mathrm{𝟏}}_{[1,2)}$。两个区间各长一，所以各个幂次积分就是上面对应的幂次和。这里不是把函数值在所有位置先相加为七，而是逐点相加后再求范数。

由赫尔德不等式推出三角不等式

先讨论 $1<p<\mathrm{\infty }$。记 $A=\Vert f{\Vert }_p$、$B=\Vert g{\Vert }_p$，二者有限。证明中不能预先假定 $f+g$ 的幂次可积。对非负实数 $a,b$，函数 $t\mapsto t^p$ 的凸性给出 $${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^p\le \frac{a^p+b^p}{2}.$$ 结合 $|f+g|\le |f|+|g|$，就有 $$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p).$$ 右侧可积，因此 $S=\Vert f+g{\Vert }_p$ 有限。这一步只建立可积性，并没有用到待证明的三角不等式。

设共轭指数 $q=p/(p-1)$，并令 $h=|f+g{|}^{p-1}$。由于 $(p-1)q=p$， $$\Vert h{\Vert }_q={({\int }_X|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/q}=S^{p-1}.$$ 因而 $h\in L^q$，可以分别对 $|f|h$ 与 $|g|h$ 使用赫尔德不等式。积分得到 $$\begin{array}{cc}{S}^p& ={\int }_X|f+g|h\mathrm{d}\mu \\ & \le {\int }_X|f|h\mathrm{d}\mu +{\int }_X|g|h\mathrm{d}\mu \\ & \le (A+B)S^{p-1}.\end{array}$$ 若 $S=0$，结论立即成立；若 $S>0$，因为它有限，可以除以 $S^{p-1}$，得到 $S\le A+B$。不能把这一除法写成无穷大之间的消去；前面的可积性验证正是保证除法合法。

当 $p=1$ 时，逐点不等式 $|f+g|\le |f|+|g|$ 直接积分即可；右侧可积同时保证左侧可积。当 $p=\mathrm{\infty }$ 时，令 $A=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$、$B=\Vert g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。任意 $\epsilon >0$ 都有 $|f|\le A+\epsilon$、$|g|\le B+\epsilon$ 在某个共同零测集之外成立，故 $$|f+g|\le A+B+2\epsilon$$ 几乎处处成立。取本质上界，再令 $\epsilon \downarrow 0$，便得到所需结论。

等号与方向的配合

在 $1<p<\mathrm{\infty }$ 且 $A,B>0$ 时，实值函数的等号条件为 $$\frac{f}{A}=\frac{g}{B}\text{几乎处处}.$$ 即两个函数是同方向的非负常比例，而不仅是绝对值成比例。若其中一个范数为零，它是零等价类，等号自动成立。

等号条件的证明。 令 $F=f/A$、$G=g/B$、$\lambda =A/(A+B)$。此时 $0<\lambda <1$，且两个归一化函数的 $p$ 次幂积分均为一。实函数 $t\mapsto |t{|}^p$ 严格凸，因为其导数 $p\mathrm{sgn}(t)|t{|}^{p-1}$ 严格递增。因此 $$|\lambda F+(1-\lambda )G{|}^p\le \lambda |F{|}^p+(1-\lambda )|G{|}^p,$$ 每一点等号恰好在 $F=G$ 时成立。若三角不等式达到等号，左侧积分为一，右侧积分也为一；二者的非负差值积分为零，便只能几乎处处为零。所以 $F=G$ 几乎处处。反过来，这一相等关系显然使和的范数为 $A+B$。

例如将主例中的第二个向量改成 $b=2a=(6,0)$，则对所有 $p\ge 1$，$\Vert a+b{\Vert }_p=9=3+6$。若改成 $b=-a$，绝对值仍成比例，但和的范数为零，右侧为六，不能达到等号。

端点情形的等号规则不同。对实值函数，$p=1$ 时等号等价于 $fg\ge 0$ 几乎处处，因为此时逐点没有异号抵消；主例 $(3,0)$ 与 $(0,4)$ 正好符合。$p=\mathrm{\infty }$ 时，不能要求存在某个同时取得最大值的点，例如在 $(0,1)$ 上 $f(x)=g(x)=x$ 没有最大值，但本质上确界仍满足 $2=1+1$。

小于一的指数与凸性

表达式 $(\sum |a_i{|}^p{)}^{1/p}$ 在 $0<p<1$ 时仍有意义，但一般不是范数。取 $p=1/2$，$u=(1,0)$、$v=(0,1)$，则 $$\Vert u{\Vert }_p=\Vert v{\Vert }_p=1,\Vert u+v{\Vert }_p=(1+1{)}^2=4.$$ 三角不等式要求四不超过二，直接失败。再看中点 $w=(u+v)/2=(1/2,1/2)$，有 $$\Vert w{\Vert }_{1/2}={(\sqrt{1/2}+\sqrt{1/2})}^2=2.$$ 两个端点在单位球内，而中点在外，单位球不凸。

第一象限中，p=1/2的单位球满足√x+√y≤1；其边界为y=(1−√x)²。端点u、v的中点w位于边界外，因此不能像范数单位球那样保持凸性。

这种失败不能概括成任意实函数都满足反向三角不等式：取 $v=-u\ne 0$，和为零，任何正的两项大小之和都不会小于或等于零。正确的非负幂次关系是 $$|a+b{|}^p\le |a{|}^p+|b{|}^p,0<p<1,$$ 它保证幂次可积函数对加法封闭，却不给出本篇 $p\ge 1$ 的范数三角不等式。

多项和与误差控制

对有限个同一 $L^p$ 空间中的函数，反复使用两项不等式，得到 $${\Vert \sum _{j=1}^m{h}_j\Vert }_p\le \sum _{j=1}^m\Vert h_j{\Vert }_p.$$ 这在分解误差时很有用：若 $f-\tilde{f}=(f-f_h)+(f_h-\tilde{f})$，第一项代表所选近似模型的误差，第二项代表计算近似模型的误差，则 $$\Vert f-\tilde{f}{\Vert }_p\le \Vert f-f_h{\Vert }_p+\Vert f_h-\tilde{f}{\Vert }_p.$$ 两个上界应使用同一测度与同一指数。比如两项 $L^2$ 误差上界分别为 $0.03$、$0.04$，可保证总误差不超过 $0.07$。只有另有正交关系等附加结构时，才可能把相加改成平方和开方得到 $0.05$；普通三角不等式本身不提供这个更强结论。

相关条目

• 勒贝格空间：函数等价类、范数与完备性。
• 赫尔德不等式：主证明中控制两个乘积积分的工具。
• 柯西不等式：平方指数下的内积控制。
• 闵可夫斯基和：集合相加的另一概念，与本篇的函数范数不等式需区分。