勒贝格空间

勒贝格空间（Lebesgue space，通常记为 $L^p$ 空间）用函数绝对值的幂次积分衡量函数的大小，并把几乎处处相等的可测函数视为同一个元素。指数 $p$ 决定较大函数值受到多强的强调。$L^1$ 衡量总绝对量，$L^2$ 与平方误差相连，$L^{\mathrm{\infty }}$ 则控制除零测集以外的最大幅度。

例如在 $[0,1]$ 上取长度测度，函数 $f(x)=x$ 的绝对积分为 $1/2$，平方积分为 $1/3$。相应的两个大小分别为 $1/2$ 与 $1/\sqrt{3}$；第二个数还要开平方，才能在把函数放大两倍时也恰好放大两倍。这个例子将用来区分幂次积分、范数以及逐点最大值。

函数、测度与等价类

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间，本文先讨论实值可测函数。对 $1\le p<\mathrm{\infty }$，若 $${\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty },$$ 就说 $f$ 的 $p$ 次幂可积。所用积分是勒贝格积分。在所有满足这一条件的函数之间，定义等价关系 $$f\sim g⟺\mu \{x:f(x)\ne g(x)\}=0.$$ 也就是说，只在一个零测集上不同的两个可测函数，属于同一个等价类。$L^p(X,\Sigma ,\mu )$ 就是这些等价类构成的空间，通常简写为 $L^p(X)$ 或 $L^p(\mu )$。定义其范数为 $$\Vert f{\Vert }_p={({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}.$$ 记号里虽写 $f$，实际指它的等价类；取任何可测代表元，积分都相同。

取等价类有实质作用。若直接把点值不同的函数当作不同元素，那么 $h={\mathrm{𝟏}}_{\{1/2\}}$ 不是逐点为零的函数，却满足 $\Vert h{\Vert }_p=0$，不符合范数“只有零元素的大小才为零”的要求。在等价类空间中，$h$ 与零函数本来就是同一个元素。更一般地，若 $\int |f{|}^p=0$，则对每个正整数 $m$， $$m^{-p}\mu \{|f|>1/m\}\le {\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu =0.$$ 因此这些集合都为零测集，它们的可数并覆盖 $\{f\ne 0\}$，从而 $f=0$ 几乎处处。

这里始终要求代表元可测。在未完备的测度空间中，对零测集任意子集进行随意改值，不一定仍可测；定义没有省略这一条件。若允许取扩展实值，只要有限幂次积分成立，函数也只可能在一个可测零测集上取无穷，把那里改为零便得到实值代表元。

三种常用的大小

在 $[0,1]$ 上对 $f(x)=x$ 计算： $$\begin{array}{cc}\Vert f{\Vert }_1& ={\int }_0^{1}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2},\\ \Vert f{\Vert }_2& ={\left({\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x\right)}^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\end{array}$$ 更一般地，${\int }_0^1{x}^p\mathrm{d}x=1/(p+1)$，所以 $$\Vert f{\Vert }_p=(p+1{)}^{-1/p}.$$ 图中两块面积分别对应一阶积分和平方积分。$L^2$ 范数是第二块面积的平方根，不能直接把面积 $1/3$ 称为 $L^2$ 范数。

同一函数 f(x)=x 的一阶与二阶幂次积分。平方在0与1之间使数值变小；范数还分别取一次方根与平方根。

当 $p=\mathrm{\infty }$ 时，不使用“无穷次幂积分”，而定义 $$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=inf\{M\ge 0:|f|\le M\text{ 几乎处处}\}.$$ 若没有有限的合格上界，取值为 $\mathrm{\infty }$。$L^{\mathrm{\infty }}$ 是这一量有限的可测函数等价类空间。这一量称为绝对值的本质上确界，忽略的是零测集，而非任意“较少”的点。

对 $f(x)=x$，一是合格上界；任何 $0\le M<1$ 都被正测度区间 $(M,1]$ 上的值超过，故 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。若只把 $f(1/2)$ 改成一百，逐点上确界变为一百，三个范数却全都不变。反过来，如果在一个正长度区间内把值改成一百，本质上确界就会改变。

这些数值依赖测度。在区间 $[0,a]$ 上取 $f=1$，当 $0<a<\mathrm{\infty }$ 时，$\Vert f{\Vert }_p=a^{1/p}$，而 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$。若改用归一化概率测度 $\mathrm{d}x/a$，所有这些范数都为一。谈论函数大小时，积分对什么测度进行与函数公式同样重要。

端点奇性与可积指数

把主例改为 $u(x)=x^{-1/4}$，定义域取 $(0,1]$。靠近零的函数值没有界，但是否属于 $L^p$ 要看奇性占据的宽度。对 $0<\epsilon <1$，当 $p\ne 4$ 时， $${\int }_{\epsilon }^1{x}^{-p/4}\mathrm{d}x=\frac{1-{\epsilon }^{1-p/4}}{1-p/4}.$$ 若 $p<4$，正指数幂 ${\epsilon }^{1-p/4}$ 趋于零；若 $p>4$，积分趋于无穷。临界值 $p=4$ 时，积分为 $-\log \epsilon$，同样发散。因此 $$u\in L^p(0,1)⟺1\le p<4.$$ 具体得到 $\Vert u{\Vert }_1=4/3$、$\Vert u{\Vert }_2=\sqrt{2}$、$\Vert u{\Vert }_3=\sqrt[3]{4}$。它也不属于 $L^{\mathrm{\infty }}$：对任意有限 $M\ge 1$，区间 $(0,M^{-4})$ 都是正测度的超界集合。若将指数由 $1/4$ 改成 $1/3$，同一计算把临界值改成三；这说明幂次积分必须检查临界端点，不能只看函数在每个正数处有限。

向量空间与范数

等价类之间的加法、数乘通过代表元进行。若换了代表元，差异只发生在两个零测集的并上，所以得到的等价类不变。对 $1\le p<\mathrm{\infty }$，凸性给出 $$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p),$$ 从而两个 $L^p$ 函数的和仍属于 $L^p$。对 $p=\mathrm{\infty }$，两个几乎处处有限的统一上界相加即可。

非负性与齐次性由定义直接成立，零范数只对应零等价类已在前文证明。其余关键性质是闵可夫斯基不等式： $$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p,1\le p\le \mathrm{\infty }.$$ 它使 $d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p$ 成为等价类空间上的距离。本篇使用这条已单独证明的不等式，不以空间完备性反过来证明它。

取有限集合或自然数集，并使用每点质量为一的计数测度，积分便成为求和。相应空间分别是有限维向量的 $p$ 范数空间，或序列空间 ${\ell }^p$： $$\Vert a{\Vert }_{{\ell }^p}={(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k{|}^p)}^{1/p}.$$ ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ 则是有界序列及其上确界范数。因为每个非空集合的计数测度至少为一，计数测度下的“几乎处处相等”就是处处相等。

指数之间的包含关系

若 $0<\mu (X)<\mathrm{\infty }$、$1\le p<q<\mathrm{\infty }$，对 $|f{|}^p$ 与常函数一使用共轭指数 $q/p$ 和 $q/(q-p)$ 的赫尔德不等式，得到 $${\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \le {({\int }_X|f{|}^q\mathrm{d}\mu )}^{p/q}\mu (X{)}^{1-p/q}.$$ 两侧取 $p$ 次方根： $$\Vert f{\Vert }_p\le \mu (X{)}^{1/p-1/q}\Vert f{\Vert }_q.$$ 所以有限测度空间中，$L^q\subseteq L^p$。当 $q=\mathrm{\infty }$ 时，直接积分几乎处处上界即可得到 $\Vert f{\Vert }_p\le \mu (X{)}^{1/p}\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$。若 $\mu (X)=0$，所有可测函数都是同一个零等价类，可单独处理。

无限测度时不能删掉上述前提。在 $(0,\mathrm{\infty })$ 上，$v(x)=(1+x{)}^{-3/4}$ 满足 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}v(x{)}^2\mathrm{d}x=2,$$ 而其一阶积分为 $${\int }_0^{R}v(x)\mathrm{d}x=4((1+R{)}^{1/4}-1)⟶\mathrm{\infty }.$$ 这是 $L^2$ 不包含于 $L^1$ 的反例。反方向也不普遍成立：把 $x^{-3/4}$ 限制在 $(0,1)$、区间外设为零，一阶积分为四，平方积分却发散。二者的障碍分别来自无穷远与零附近。

序列空间还有不同的规律。例如 $a_k=1/k$ 属于 ${\ell }^2$ 而不属于 ${\ell }^1$；这不违反有限测度包含关系，因为自然数集的计数测度是无限的。

范数收敛与逐点收敛

$f_n\to f$ 在 $L^p$ 中收敛，定义为 $\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$。它控制整体的积分误差，不要求每一个点的误差同时变小。

取 $f_n(x)=\sqrt{n}{\mathrm{𝟏}}_{(0,1/n)}(x)$，定义在 $[0,1]$。对每个固定 $x>0$，只要 $n>1/x$ 就有 $f_n(x)=0$；在零处也为零，所以逐点趋于零。但 $$\Vert f_n{\Vert }_2^2=n\cdot \frac{1}{n}=1,\Vert f_n{\Vert }_1=\frac{1}{\sqrt{n}}⟶0.$$ 同一个序列逐点收敛并且在 $L^1$ 中收敛，却不在 $L^2$ 中收敛。高度上升与宽度缩小恰好使平方积分保持为一。

矩形依次变窄、变高。普通面积为1/√n而平方后的面积始终为1；每个固定正数最终都离开支撑区间。竖边仅标示区间边界，端点值按正文定义取零。

反过来，范数趋于零也不保证整个序列逐点趋于零。将 $[0,1)$ 在第 $m$ 轮分为 $2^m$ 个左闭右开的等长区间，依次列出这些区间的示性函数，再进行下一轮。每一项的 $L^p$ 范数为 $2^{-m/p}$，对有限 $p$ 趋于零；但每个 $x\in [0,1)$ 在每轮恰好遇到一次值一，也遇到值零，所以点值没有极限。可以选取几乎处处收敛的子序列，与整个序列逐点收敛是不同结论。

完备性：柯西序列的极限仍在空间中

对任意测度空间和 $1\le p\le \mathrm{\infty }$，$L^p$ 是完备的赋范空间：每个按范数计算的柯西序列，都收敛到空间内的元素。这也称 $L^p$ 是巴拿赫空间。有限指数情形常称为Riesz–Fischer定理。下面证明这一结论；它不要求总测度有限或测度σ有限。

先设 $1\le p<\mathrm{\infty }$，$(f_n)$ 是柯西序列。由柯西性质，可以选取递增下标 $n_j$，使相邻子序列项的距离满足 $$\Vert f_{n_{j+1}}-f_{n_j}{\Vert }_p\le 2^{-j}.$$ 选定可测实值代表元，记 $d_j=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}$，再把绝对增量累加： $$S_m=\sum _{j=1}^m|d_j|,S=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_m.$$ 闵可夫斯基不等式给出 $\Vert S_m{\Vert }_p\le \sum _{j=1}^m{2}^{-j}\le 1$。因为 $S_m^p$ 单调增加，由单调收敛定理， $${\int }_X{S}^p\mathrm{d}\mu =\underset{m}{lim}{\int }_X{S}_m^p\mathrm{d}\mu \le 1.$$ 因此 $S$ 只在一个可测零测集 $N$ 上可能为无穷。对 $x\notin N$，级数 $\sum _j{d}_j(x)$ 绝对收敛，定义 $$f(x)=f_{n_1}(x)+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_j(x).$$ 在 $N$ 上取 $f=0$。这是可测函数：在可测集 $X\setminus N$ 上是可测部分和的极限，再在 $N$ 上赋常值。又有 $|f|\le |f_{n_1}|+S$ 几乎处处；右侧属于 $L^p$，故 $f\in L^p$。

还需要证明的是范数收敛，而不只是点值级数收敛。对 $m\ge j$，有限尾和的范数不超过 $\sum _{k=j}^m{2}^{-k}$。这些尾和几乎处处趋于 $f-f_{n_j}$，由法图引理作用于其绝对值的 $p$ 次幂，得到 $$\Vert f-f_{n_j}{\Vert }_p\le \sum _{k=j}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}=2^{1-j}.$$ 所以选出的子序列按范数趋于 $f$。给定 $\epsilon >0$，先由原序列的柯西性质选 $N_0$，使所有 $n,m\ge N_0$ 时的距离小于 $\epsilon /2$；再取 $n_j\ge N_0$ 且 $\Vert f_{n_j}-f{\Vert }_p<\epsilon /2$。对任意 $n\ge N_0$，三角不等式就给出 $\Vert f_n-f{\Vert }_p<\epsilon$，证明整个序列收敛。

对 $p=\mathrm{\infty }$，柯西性质给出：对每个正整数 $m$，存在 $N_m$，使 $n,k\ge N_m$ 时 $\Vert f_n-f_k{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<1/m$。每一对下标的点值不等式可在一个可测零测集外成立；把所有这些例外集连同各 $f_n$ 超过某个有限本质上界的例外集合并，仍是一个可测零测集。在它的补集上，点值序列一致满足上述柯西控制，所以在实数中有极限 $f$。例外集上设 $f=0$，得到可测函数。固定 $m=1$ 的一个足够晚的项，可用它的有限上界再加一控制 $|f|$，故 $f\in L^{\mathrm{\infty }}$。令 $k\to \mathrm{\infty }$ 得到 $|f_n-f|\le 1/m$ 几乎处处，进而 $\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\to 0$。

证明中的“可求和增量”把范数中的柯西控制变成几乎处处的绝对收敛；并没有假定原序列事先逐点收敛。作为具体核对，在 $[0,1]$ 上取 $g_j=(1-2^{1-j})x$，则 $g_1=0$，相邻差为 $2^{-j}x$，而 $$\Vert x-g_j{\Vert }_2=\frac{2^{1-j}}{\sqrt{3}}.$$ 这同时展示了增量可求和与尾部误差趋零。

相关条目

• 勒贝格积分、零测集：幂次积分与等价类的基础。
• 赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式：乘积界与三角不等式。
• 柯西收敛准则：柯西条件与收敛的关系。