勒贝格积分

勒贝格积分（Lebesgue integral）是把可测函数的取值，按相应集合的测度累积起来的积分。构造先从有限值的简单函数开始，再用下方简单函数的积分上确界定义非负函数的积分，最后分别处理正、负部分。它既包括通常按长度、面积计算的积分，也包括离散求和与概率期望。

积分不仅由函数决定，还取决于测度。例如，在区间 $[0,2]$ 上固定函数 $$f(x)=\{\begin{array}{cc}2,& x=1/2,\\ x^2,& 0\le x\le 1,x\ne 1/2,\\ -1/2,& 1<x\le 2.\end{array}$$ 用长度测度时，单独改变 $x=1/2$ 的取值不改变积分；若一个概率模型恰好给该点正概率，这个取值就有实际贡献。下面先给出计算规则，再对同一个函数逐项比较。

空心点表示原曲线在 x=0.5 处的值未取入，实心点表示 f(0.5)=2。孤立点没有长度；右侧负区域的高度是0.5、宽度是一。

从简单函数到非负函数

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是测度空间。若非负简单函数以互不相交的可测水平集写成 $$s=\sum _{j=1}^r{a}_j{\mathrm{𝟏}}_{A_j},0\le a_j<\mathrm{\infty },$$ 其积分定义为 $${\int }_{X}s\mathrm{d}\mu =\sum _{j=1}^r{a}_j\mu (A_j).$$ 这里 ${\mathrm{𝟏}}_A$ 在 $A$ 上取一，在其外取零。约定 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$：一个函数在无限测度的区域上恒为零，该区域仍贡献零。正系数乘无限测度则贡献正无穷。把两种简单函数表示细分到同一组互斥集合，可证明这一数值与表示方式无关，详见简单函数。

对可测函数 $u:X\to [0,\mathrm{\infty }]$，定义 $${\int }_{X}u\mathrm{d}\mu =sup\{{\int }_{X}s\mathrm{d}\mu :\begin{array}{c}s\text{ 是简单函数},\\ 0\le s\le u\end{array}\}.$$ 比较 $s\le u$ 是在每一点进行的。零函数总是候选，因此上确界存在于 $[0,\mathrm{\infty }]$；但它未必有限。非负可测函数总有扩展意义的积分，只有积分有限时才称为可积。

这一构造衡量的是各个取值所占的集合大小，不要求这些集合是连续区间。若 $u$ 本身就是简单函数，它也是自己的候选，而其他候选的积分都不超过它，故新定义与上面的有限和定义一致。

对可测集合 $A$，写 $${\int }_{A}u\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}u{\mathrm{𝟏}}_A\mathrm{d}\mu .$$ 其中乘积理解为“在 $A$ 内取 $u$，在外面取零”，即使 $u$ 在外面取无穷，也按零处理。

单调性、缩放与相加

若 $0\le u\le v$，每个位于 $u$ 下方的非负简单函数，也位于 $v$ 下方。因此前一个上确界的候选包含于后一个，得到 $${\int }_{X}u\mathrm{d}\mu \le {\int }_{X}v\mathrm{d}\mu .$$ 这就是积分的单调性，不要求积分有限。

对有限常数 $a>0$，映射 $s\mapsto as$ 把 $u$ 的下方简单函数与 $au$ 的下方简单函数一一对应；简单函数积分又满足 $\int as=a\int s$。对所有候选取上确界，便得 $${\int }_{X}au\mathrm{d}\mu =a{\int }_{X}u\mathrm{d}\mu .$$ 零函数的积分另由定义直接等于零。

一般非负函数还满足可加性 $${\int }_X(u+v)\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}u\mathrm{d}\mu +{\int }_{X}v\mathrm{d}\mu .$$ 此处没有未定义的无穷相减，但不能仅把两个上确界“拆开”就当作证明。由简单函数的逼近构造，取 $s_n\uparrow u$、$t_n\uparrow v$，其中各项均为非负简单函数。它们的和递增到 $u+v$。先使用单调收敛定理， $${\int }_X(u+v)\mathrm{d}\mu =\underset{n}{lim}{\int }_X(s_n+t_n)\mathrm{d}\mu .$$ 每一步中的简单函数积分满足有限可加性： $$\begin{array}{cc}{\int }_X(s_n+t_n)\mathrm{d}\mu & ={\int }_X{s}_n\mathrm{d}\mu \\ & +{\int }_X{t}_n\mathrm{d}\mu .\end{array}$$ 再对 $s_n$、$t_n$ 分别使用同一定理。右侧的两列积分非负递增，极限分别是 ${\int }_{X}u\mathrm{d}\mu$ 与 ${\int }_{X}v\mathrm{d}\mu$；它们的和趋于这两个极限之和。因此 $${\int }_X(u+v)\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}u\mathrm{d}\mu +{\int }_{X}v\mathrm{d}\mu .$$ 非负递增数列极限的相加允许结果为正无穷。单调收敛定理的独立证明只使用前面的单调性、正齐次性及简单函数积分，没有以本结论为前提。

正负部与可积性

对可测的扩展实值函数 $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$，定义 $$\begin{array}{cc}{f}^{+}& =max(f,0),\\ f^{-}& =max(-f,0).\end{array}$$ 两者都是非负可测函数，并且 $$f=f^{+}-f^{-},|f|=f^{+}+f^{-}.$$ 在每一点至多一个部分为正。先分别计算两个非负积分；只要至少一个有限，才定义 $${\int }_{X}f\mathrm{d}\mu ={\int }_X{f}^{+}\mathrm{d}\mu -{\int }_X{f}^{-}\mathrm{d}\mu .$$

若两部分都有限，积分是实数，并称 $f$ 勒贝格可积；若仅正部积分无限，结果为正无穷；若仅负部积分无限，结果为负无穷。两者都无限时，这个积分没有定义，不能给 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 指派一个值。

由非负积分可加性，可积性等价于 $${\int }_X|f|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$ 因此，对实值勒贝格积分，“可积”已经包含绝对可积的要求。可积函数的积分满足线性；并且令 $A=\int f^{+}\mathrm{d}\mu$、$B=\int f^{-}\mathrm{d}\mu$，由实数不等式 $|A-B|\le A+B$ 得到 $$\left|{\int }_{X}f\mathrm{d}\mu \right|\le {\int }_X|f|\mathrm{d}\mu .$$ 正负抵消后的数值可能很小，甚至为零；它不能代替对正、负部分分别有限的检查。

零积分与几乎处处相等

零积分判据。 若 $u\ge 0$ 可测，则 $${\int }_{X}u\mathrm{d}\mu =0⟺u=0\mu \text{-几乎处处}.$$ “几乎处处”为零，是指 $u$ 非零的点落在某个可测零测集内。这里的非负条件不能省掉，例如等长区域上取一与负一，可以积分抵消却处处非零。

证明。 假定积分为零。对每个正整数 $n$，令 $$A_n=\{x:u(x)\ge 1/n\}.$$ 因为 $n^{-1}{\mathrm{𝟏}}_{A_n}\le u$，单调性给出 $$0\le \frac{1}{n}\mu (A_n)\le {\int }_{X}u\mathrm{d}\mu =0.$$ 所以每个 $A_n$ 都零测。每个正数都至少大于某个 $1/n$，无穷也如此，故 $$\{u>0\}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$$ 是可数个零测集的并，从而零测。

反之，若 $u=0$ 于某个可测零测集 $N$ 外，则任何 $0\le s\le u$ 的简单函数，其正水平集都包含在 $N$ 中。每个正水平的积分贡献都为零，零水平也贡献零。因此所有候选简单函数的积分都为零，上确界也为零。

这一推理还给出零测修改不改变积分。若 $u,v\ge 0$ 都可测，且在可测零测集 $N$ 外相等，对任意简单函数 $0\le s\le u$，令 $\tilde{s}=s{\mathrm{𝟏}}_{X\setminus N}$。删去零测部分不改变它的积分，且 $\tilde{s}\le v$，于是 $${\int }_{X}s\mathrm{d}\mu ={\int }_X\tilde{s}\mathrm{d}\mu \le {\int }_{X}v\mathrm{d}\mu .$$ 对 $s$ 取上确界得到 $\int u\le \int v$；交换两者即得相等。对有符号函数，分别应用于正、负部即可，只要相应积分有定义。

这里已经假设两个函数都可测，不需要测度空间完备。若只给出一个可测函数，然后在零测集的任意子集上随意修改，新的函数是否仍可测，则涉及完备性；这与积分数值不变是两个条件。

有限的绝对积分还保证函数几乎处处有限。设 $A=\{|f|=\mathrm{\infty }\}$，对任意有限 $M>0$ 都有 $M{\mathrm{𝟏}}_A\le |f|$，所以 $$M\mu (A)\le {\int }_X|f|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }.$$ 若 $\mu (A)>0$，取足够大的 $M$ 就会矛盾，故 $\mu (A)=0$。无穷值可以出现在零测集上，但不能在正测度的区域上出现而仍保持可积。

同一函数的三种积分

回到开头的函数 $f$。以下均在 $[0,2]$ 的勒贝格可测子集族上考虑三种测度，区间、可测集合族及函数点值规则保持相同。

长度测度

以 $m$ 表示 $[0,2]$ 上的勒贝格长度。先去掉孤立改值，得到 $[0,1]$ 上的 $x^2$ 与 $(1,2]$ 上的常数 $-1/2$。去掉前后的函数只在单点不同，由上述结论积分不变。

这两个分段函数都是通常的有界黎曼可积函数，其勒贝格积分与黎曼积分相同。该一致性是连接两种积分的定理，因而这里可以使用微积分中的原函数计算。 $$\begin{array}{cc}\int f^{+}\mathrm{d}m& ={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3},\\ \int f^{-}\mathrm{d}m& =\frac{1}{2}m((1,2])=\frac{1}{2}.\end{array}$$ 两者均有限，所以 $$\begin{array}{cc}\int f\mathrm{d}m& =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6},\\ \int |f|\mathrm{d}m& =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}.\end{array}$$ 图中左侧曲线下的正面积为 $1/3$，右侧负矩形的面积大小为 $1/2$。较大的负贡献使总积分为负；把孤立点升到二并未增加任何长度权重。

原子概率测度

改用概率测度 $$P=\frac{1}{4}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_{1/2}+\frac{1}{4}{\delta }_{3/2}.$$ 其中 ${\delta }_a(A)$ 在 $a\in A$ 时为一，否则为零。这表示随机位置只可能是 $0,1/2,3/2$，概率分别为 $1/4,1/2,1/4$。

对有限原子测度，积分等于“各点函数值乘该点权重”之和。本例中函数在这三个点的值为 $0,2,-1/2$。在其余区域，测度为零，不贡献积分。因此 $$\begin{array}{cc}\int f^{+}\mathrm{d}P& =\frac{1}{2}\cdot 2=1,\\ \int f^{-}\mathrm{d}P& =\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8},\\ \int f\mathrm{d}P& =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8},\\ \int |f|\mathrm{d}P& =1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}.\end{array}$$ 它也是该随机位置下 $f$ 的数学期望。二分之一处的取值现在带有一半的概率权重，与长度模型的零权重不同。

纵轴是 f(x)P({x})，柱高已经乘入点概率。三个贡献相加为0.875；这些柱表示带权求和，不用柱宽计算面积。

变式。 保持三个概率权重不变，把中间的原子从 $1/2$ 移到 $3/4$，记新测度为 $Q$。这次中间位置没有被孤立改值覆盖，$f(3/4)=9/16$。所以 $$\begin{array}{cc}\int f\mathrm{d}Q& =\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{16}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}\\ & =\frac{9}{32}-\frac{4}{32}=\frac{5}{32}.\end{array}$$ 变的是概率放在什么位置，函数本身没有改变。若把原概率误当成均匀分布，或仍使用二分之一处的取值二，就得不到这个结果。

计数测度

再把通常定义在幂集上的计数测度限制到相同的勒贝格可测集合族，记为 $\nu$：有限集合的测度是点数，无限集合的测度为无穷。此时 $f$ 仍可测，但有界并不足以保证可积。

在可测无限集 $[3/4,1]$ 上，$f^{+}\ge 9/16$，故 $$\int f^{+}\mathrm{d}\nu \ge \frac{9}{16}\nu ([3/4,1])=\mathrm{\infty }.$$ 同时 $f^{-}=1/2$ 于无限集 $(1,2]$，所以负部积分也为无穷。于是 $\int f\mathrm{d}\nu$ 没有定义。不能把前两种测度下的答案直接搬到这里，也不能把无穷正贡献与无穷负贡献抵消。

与黎曼积分、级数的边界

在紧区间上，勒贝格积分保留了所有黎曼可积函数的积分值，但允许更多函数。例如有理数指示函数 ${\mathrm{𝟏}}_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ 的勒贝格积分为零；它在每个点都不连续，每个非退化区间内既取零又取一，因此不黎曼可积。

“扩大适用范围”不表示把每一种广义积分都自动当作勒贝格积分。在正整数集合上使用计数测度，积分就是级数的求和；但要得到有限的勒贝格积分，须有绝对收敛。以 $f(k)=(-1{)}^{k+1}/k$ 为例，偶数项的绝对值之和为 $\frac{1}{2}\sum _{j\ge 1}1/j=\mathrm{\infty }$，奇数项之和也至少这么大。正、负部积分均无限，因而不能用这个勒贝格积分表达交错次序下的条件收敛值。

对于一般非负函数，简单函数提供逐步从下逼近的构造，单调收敛定理保证相应积分趋近真正的积分；当函数列不单调时，能否交换极限与积分，则须检查法图引理或勒贝格控制收敛定理各自的条件。