阿尔泽拉—阿斯科利定理

阿尔泽拉—阿斯科利定理（Arzelà–Ascoli theorem）给出连续函数族在一致距离下相对紧的判别条件：定义域是紧度量空间时，统一有界且等度连续的函数族，任意函数序列都能选出一个一致收敛子序列；反过来，相对紧的函数族也具有这两个性质。

对实数序列，有界能保证存在收敛子序列。对函数序列，单有界还不够。例如 $f_{n} (x) = x^{n}$ 在 $[0, 1]$ 上始终介于零和一之间，但越来越陡的端点变化使它没有一致收敛子序列。定理增加的等度连续条件，正是对整族函数的变化幅度施加共同控制。

一致距离与等度连续

设 $(K, d)$ 是非空紧度量空间， $C (K)$ 表示其上全部连续实值函数。连续函数在紧集上有界，所以对 $f, g \in C (K)$ ，一致距离 $d_{\infty} (f, g) = ‖ f - g ‖_{\infty} = sup_{x \in K} | f (x) - g (x) |$ 是有限的。这里是逐点值的上确界，不涉及测度或本质上确界。按这个距离收敛就是一致收敛：对所有点使用同一个足够晚的下标。

函数族 $ℱ \subseteq C (K)$ 称为统一有界，是指存在有限常数 $M \geq 0$ ，使 $| f (x) | \leq M (f \in ℱ, x \in K) .$ 每个函数各有一个界，弱于整族共用一个界。例如常函数 $f_{n} (x) = n$ 各自有界，整族却没有统一上界。

在本篇的紧定义域上，等度连续写成以下统一形式：对任意 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使 $d (x, y) < δ ⟹ | f (x) - f (y) | < ε$ 对所有 $x, y \in K$ 和所有 $f \in ℱ$ 同时成立。一个 $δ$ 要适用于全族，而不是每选一个函数就另选一个尺度。这个形式在紧度量空间上与逐点定义的等度连续等价。^[1]

例如，若所有函数都是同一个有限常数 $L$ 的利普希茨函数，即 $| f (x) - f (y) | \leq L d (x, y)$ ，则取 $δ = ε / (L + 1)$ 就能保证等度连续。导数存在且绝对值有共同上界，是区间上得到这种控制的一种方法；定理本身不要求函数可导。

定理与闭包的作用

函数族称为相对紧，是指它在 $C (K)$ 中的闭包是紧集。阿尔泽拉—阿斯科利定理断言：

对非空紧度量空间

K

，

ℱ \subseteq C (K)

相对紧，当且仅当它统一有界且等度连续。

在度量空间中，相对紧可等价表述为：每一个由 $ℱ$ 中元素组成的序列，都有一致收敛子序列，其极限属于 $C (K)$ 。极限未必在原来的函数族中；若函数族还在一致距离下闭合，才得到它本身紧。^[1]

例如 $ℱ = {x \mapsto 1 / n : n \geq 1}$ 统一有界且等度连续，常函数序列 $1 / n$ 一致趋于零，但零函数没有包含在这族中。加上零函数后的闭包才是紧集。另一个容易混淆的说法是“序列有某个一致收敛子序列”：仅有一个好子序列，不会约束其余项。把零函数和常函数 $n$ 交替排列，就有零子序列收敛，同时整族仍不统一有界。

统一斜率控制的算例

在 $K = [0, 1]$ 上考虑 $ℱ = {f_{a} (x) = \sin (a x) : 0 \leq a \leq 2} .$ 全部函数满足 $| f_{a} (x) | \leq 1$ 。由正弦函数的导数绝对值不超过一， $| \sin (a x) - \sin (a y) | \leq a | x - y | \leq 2 | x - y | .$ 所以它们统一有界且等度连续，任取其中的序列都有一致收敛子序列。

可以把这一存在性结论与实际误差对照。令 $a_{n} = 1 + 1 / n$ ，则 $\begin{matrix} | \sin (a_{n} x) - \sin x | & \leq | a_{n} - 1 | x \\ \leq \frac{1}{n} (0 \leq x \leq 1) . \end{matrix}$ 因此整个序列都一致趋于 $\sin x$ ，并且要保证误差严格小于 $0.01$ ，取 $n > 100$ 就足够。定理一般只保证能选出子序列；这里额外知道参数本身收敛，所以能直接控制整个序列。

单位区间上比较sin二倍x、sin一点五倍x、sin一点二五倍x与极限sinx，四条曲线斜率由共同常数二控制 — 图中前三条曲线对应n=1、2、4；虚线是极限sin x。曲线不必按n逐点单调，统一误差上界1/n仍然有效。

作为变式，若参数只是任意序列 $a_{n} \in [0, 2]$ ，由博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理可选出 $a_{n_{j}} \to a \in [0, 2]$ 。相同估计给出 $‖ f_{a_{n_{j}}} - f_{a} ‖_{\infty} \leq | a_{n_{j}} - a | ⟶ 0.$ 这验证了该例的子序列结论。一般函数族未必有这样现成的有限维参数，下面的证明用有限网点代替它。

充分性的证明：稠密点与有限网

空族的结论直接成立，以下设函数族非空。假设 $ℱ$ 统一有界且等度连续，任取序列 $(f_{n})$ 。证明的目标不是只让某些点的数值收敛，而是让一个子序列在全部点上共同收敛。

构造可数稠密点集。 对每个正整数 $m$ ，以 $K$ 中各点为中心、半径 $1 / m$ 的开球覆盖 $K$ 。紧性保证能选出有限子覆盖，把它们的中心组成有限集 $Q_{m}$ 。令 $D = ⋃_{m = 1}^{\infty} Q_{m} .$ 这个集合至多可数，而且稠密：每个点到某个 $Q_{m}$ 中点的距离小于 $1 / m$ 。把 $D$ 列为 $q_{1}, q_{2}, \dots$ ；若它是有限集，允许重复列举。

逐点选出同一条对角子序列。 数列 $(f_{n} (q_{1}))$ 有共同有限界，可以选出一个在 $q_{1}$ 收敛的子序列；再从它选出在 $q_{2}$ 也收敛的子序列，依次进行。第 $j$ 次选择后的序列在前 $j$ 个点都收敛。取第 $j$ 个所选序列的第 $j$ 项，得到对角子序列 $(g_{j})$ 。对任何固定的 $q_{k}$ ，对角序列去掉前面有限项后，都来自第 $k$ 次所选序列，故 $g_{j} (q_{k})$ 收敛。

把有限网点的控制传到整个定义域。 给定 $ε > 0$ ，由等度连续选 $δ > 0$ ，使所有函数在距离小于 $δ$ 的两点间变化小于 $ε / 3$ 。选 $m$ 足够大，使 $1 / m < δ$ 。有限集 $Q_{m} \subset D$ 中的每个点都已有收敛，因此存在同一个 $N$ ，使所有 $j, k \geq N$ 及所有 $q \in Q_{m}$ 都满足 $| g_{j} (q) - g_{k} (q) | < ε / 3.$ 对任意 $x \in K$ ，找一个 $q \in Q_{m}$ ，使 $d (x, q) < 1 / m < δ$ 。在两个函数之间绕经同一个网点： $\begin{matrix} | g_{j} (x) - g_{k} (x) | & \leq | g_{j} (x) - g_{j} (q) | \\ + | g_{j} (q) - g_{k} (q) | \\ + | g_{k} (q) - g_{k} (x) | \\ < ε . \end{matrix}$ 第一项与第三项由共同连续性尺度控制，中间项由有限网点处的柯西性控制。这个 $N$ 不依赖 $x$ ，所以 $(g_{j})$ 是一致柯西序列。图中有限区间网展示的正是“每个点附近都有一个已控制的网点”；一般紧度量空间使用开球完成相同步骤。

区间零到一上五个网点为零四分之一二分之一四分之三和一，半径零点二的邻域覆盖区间，点零点六八距网点零点七五为零点零七 — 这是有限网的具体示意，取δ=0.2。每行画出一个网点的邻域与区间的交；x=0.68可选q₄=0.75，距离0.07<δ。图中的有限覆盖不取代一般紧性论证。

最后，对每个 $x$ ，实数序列 $(g_{j} (x))$ 是柯西序列，令其极限为 $g (x)$ 。在一致柯西不等式中令 $k \to \infty$ ，可得对所有点同时成立的 $| g_{j} (x) - g (x) | \leq ε$ ；先把误差目标取为任意所需值的一半，就证明 $g_{j} \to g$ 一致。由连续函数的一致极限连续， $g \in C (K)$ 。

这样已证明每个原族中的序列都有一致收敛子序列。若从闭包中任取序列 $(h_{n})$ ，可为每个 $n$ 选择 $f_{n} \in ℱ$ 使 $‖ h_{n} - f_{n} ‖_{\infty} < 1 / n$ 。刚证明的结论给出 $(f_{n})$ 的一致收敛子序列，三角不等式又使对应的 $(h_{n})$ 子序列趋于同一极限。闭包是闭集，故极限仍在闭包中；度量空间的序列紧性与紧性等价，闭包因此紧。

必要性的证明：有限个函数控制全族

假设闭包 $\overline{ℱ}$ 在一致距离下紧。以半径一的一致开球覆盖闭包，可以选出有限个中心 $h_{1}, \dots, h_{r} \in C (K)$ 覆盖它。每个中心在 $K$ 上有界，因而对任意 $f \in ℱ$ ，有 $‖ f ‖_{\infty} \leq 1 + max_{1 \leq i \leq r} ‖ h_{i} ‖_{\infty} .$ 这给出整族的共同有限界。

再给定 $ε > 0$ ，用半径 $ε / 4$ 的有限个一致开球覆盖闭包，中心记为 $h_{1}, \dots, h_{s}$ 。这些中心各自在紧集上一致连续，只有有限个，所以能取同一个 $δ > 0$ ，保证 $d (x, y) < δ$ 时全部中心的变化均小于 $ε / 4$ 。

任取 $f \in ℱ$ ，找出距离它小于 $ε / 4$ 的中心 $h_{i}$ 。则 $\begin{matrix} | f (x) - f (y) | & \leq | f (x) - h_{i} (x) | \\ + | h_{i} (x) - h_{i} (y) | \\ + | h_{i} (y) - f (y) | \\ < 3 ε / 4 < ε . \end{matrix}$ 因此全族等度连续。这一方向用的是函数空间中的有限覆盖；充分性方向用的是定义域中的有限网，两个覆盖分别承担不同任务。

各项假设的边界

对 $f_{n} (x) = x^{n}$ ，每一项连续且全族统一有界，但在 $x_{n} = 2^{- 1 / n} ⟶ 1$ 处有 $f_{n} (x_{n}) = 1 / 2$ 、 $f_{n} (1) = 1$ 。两点距离趋于零而函数值之差始终为 $1 / 2$ ，不存在共同的连续性尺度。任意子序列的逐点极限在 $x < 1$ 处为零、在一处为一；它不连续，所以不可能是连续函数的一致极限。

画出x的一次四次十六次幂，在各自二的负一次四分之一次和十六分之一次处函数值均为二分之一，这些点向一靠近 — 有界没有阻止端点附近越来越急的变化。横线y=0.5与各曲线相交于xₙ=2^(−1/n)；这些横坐标向1移动，而到fₙ(1)=1的函数值差保持0.5。

统一有界也不能删掉：常函数 $f_{n} = n$ 等度连续，但任意子序列的常数值都趋于无穷，没有实值一致极限。紧定义域同样有作用：在整个 $ℝ$ 上， $f_{n} (x) = \sin (x / n)$ 统一有界且都是共同常数一的利普希茨函数，逐点极限为零，但 $sup_{x \in ℝ} | \sin (x / n) | = 1,$ 因为可取 $x = π n / 2$ 。每个子序列仍逐点趋于零，故也没有一致收敛子序列。这里失败的是全域的一致控制；在每个固定有界闭区间上，它仍一致趋于零。

在存在性证明中，定理常用来从近似解中抽出一致收敛子序列。它提供极限候选，不自动保证导数也收敛，或极限满足尚未验证的方程。例如 $u_{n} (x) = \sin (n x) / n$ 一致趋于零，导数 $\cos (n x)$ 却不一致趋于零；将近似方程传给极限，仍需检查相应积分、导数或其他运算的连续性。

参考资料

↑ ^1.0 ^1.1 Richard Melrose，MIT 18.100B，Ascoli–Arzelà Theorem，第1—2页，定理、等度连续的统一定义与证明。原讲义允许复值函数，本文讨论实值函数。访问日期：2026-11-04。

[mit-1] 1.0 ^1.1 Richard Melrose，MIT 18.100B，Ascoli–Arzelà Theorem，第1—2页，定理、等度连续的统一定义与证明。原讲义允许复值函数，本文讨论实值函数。访问日期：2026-11-04。

[1]