齐次坐标

齐次坐标（homogeneous coordinates）用一组非全零的数表示射影空间中的一个点，并把所有非零倍数视为同一个表示。平面情形写成 $[X:Y:W]$；在 $W\ne 0$ 的坐标区域内，它对应普通坐标 $(X/W,Y/W)$。增加一个坐标使平移、直线交点和射影变换可以用统一的线性代数处理。

例如，普通点 $(1,2)$ 可以表示成 $[1:2:1]$、$[2:4:2]$ 或 $[-1:-2:-1]$。它们表示同一个点，原因是归一化后得到相同的两个比值；并不是说三个不同的三维向量彼此相等。

非零向量的比例等价类

取非零列向量 $p=(X,Y,W{)}^{𝖳}\in {ℝ}^3\setminus \{0\}$。定义 $$p\sim q⟺q=\lambda p\text{对某个 }\lambda \in ℝ\setminus \{0\}.$$ 乘数一给出自反性；把乘数取倒数给出对称性；两次非零乘数相乘给出传递性。因此它确实是等价关系。一个等价类是同一条过原点的直线上的所有非零向量，用 $[X:Y:W]$ 表示。这些等价类组成实射影平面 ${\mathbb{P}}^2(ℝ)$。

零向量不能加入：它不张成一维子空间，也无法决定任何比值。允许 $\lambda =0$ 同样会把所有向量都送到零，从而失去区分点的能力。这里的比例可以为负，所以 $[X:Y:W]=[-X:-Y:-W]$；正负两条半射线共同表示一个射影点。

为便于画图，取三维向量空间的Y=2X截面，横轴t=X、纵轴W。P=(1,2,1)、2P和−P属于同一比例类；空心原点被排除。金色线W=1选出该有限点的唯一归一化代表。

有限点与无穷远点

当 $W\ne 0$ 时，乘以 $1/W$ 后得到唯一代表 $$[X:Y:W]=[X/W:Y/W:1].$$ 因此所有 $W\ne 0$ 的点与普通平面一一对应；选取这个区域称为选定一个仿射坐标片。普通点 $(0,0)$ 对应 $[0:0:1]$，仍是合法点。

剩余点形如 $[u:v:0]$，其中 $(u,v)\ne (0,0)$。它们称为相对于该坐标片的无穷远点，记录平面直线的方向：$[u:v:0]=[-u:-v:0]$，所以这里不区分同一直线的相反朝向。例如 $[2:-1:0]$ 记录斜率为 $-1/2$ 的方向，$[0:1:0]$ 记录竖直方向。无穷远点不是一个额外的公共“无限大数”，不同方向对应不同点。

所有这些点满足 $W=0$，共同组成无穷远直线。有限与无穷远的区分依赖选定的坐标片；在一般射影变换下，有限点可以被送到无穷远，反之亦然。

直线坐标与点线关联

普通直线 $ax+by+c=0$ 可写成齐次方程 $$aX+bY+cW=0.$$ 将非零系数列向量记为 $\ell =(a,b,c{)}^{𝖳}$，方程就是 ${\ell }^{𝖳}p=0$。同时把 $p$ 和 $\ell$ 乘以任意非零数只会把左边乘以非零因子，不改变等式是否成立，因此点在线上的关系不依赖代表的选择。

直线系数也只确定到一个非零倍数；$(1,2,-5{)}^{𝖳}$ 与 $(2,4,-10{)}^{𝖳}$ 表示同一直线。若 $a=b=0,c\ne 0$，得到的正是无穷远直线 $W=0$，其坐标可取 ${\ell }_{\mathrm{\infty }}=(0,0,1{)}^{𝖳}$。点和线虽然都使用三元组，几何角色却不同；点线关联由上面的内积为零来判断。

叉积统一连线与交点

设 $p,q$ 是两个不同射影点的代表列向量。它们不成比例，所以线性无关，叉积非零。写出 $$p\times q=\left(\begin{array}{c}{p}_2{q}_3-p_3{q}_2\\ p_3{q}_1-p_1{q}_3\\ p_1{q}_2-p_2{q}_1\end{array}\right).$$ 将它与 $p$ 作内积，得到 $$p_1(p_2{q}_3-p_3{q}_2)+p_2(p_3{q}_1-p_1{q}_3)+p_3(p_1{q}_2-p_2{q}_1)=0;$$ 六项两两抵消；与 $q$ 的内积也为零。因此 $\ell =p\times q$ 是同时经过两点的直线。再看唯一性：满足 ${\ell }^{𝖳}p={\ell }^{𝖳}q=0$ 的线性方程组秩为二，三维未知量的解空间为一维，故所有非零解都只差一个倍数。这证明了两不同点确定唯一射影直线。

同理，若 $\ell ,m$ 代表两条不同射影直线，则 $$r=\ell \times m$$ 非零且同时满足 ${\ell }^{𝖳}r=m^{𝖳}r=0$。秩二的方程组再次给出一维解空间，证明它是唯一交点。前一种运算称为两点的连线（join），后一种称为两线的交点（meet）。缩放输入后叉积只乘以两个缩放因子的积，所以两种构造都与齐次代表的选择无关。

取普通点 $P=(1,2)$、$Q=(3,1)$，相应代表为 $p=(1,2,1{)}^{𝖳}$、$q=(3,1,1{)}^{𝖳}$。直接计算 $$p\times q=\left(\begin{array}{c}2-1\\ 3-1\\ 1-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -5\end{array}\right).$$ 所以连线为 $\ell :x+2y-5=0$。代回两点分别得到 $1+4-5=0$ 和 $3+2-5=0$，与图中的直线一致。

若另一条直线是 $m:2x-y-1=0$，则 $$\ell \times m=\left(\begin{array}{c}2(-1)-(-5)(-1)\\ (-5)2-1(-1)\\ 1(-1)-2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ -9\\ -5\end{array}\right).$$ 末坐标非零，归一化得到交点 $R=(7/5,9/5)$。检查两式：$7/5+18/5-5=0$，$14/5-9/5-1=0$。

连线与交点来自同一套叉积运算。图中R的普通坐标为(7/5,9/5)，横纵比例相同。

把第二条线改为 $k:x+2y-7=0$，可以先预测：普通平面中两线平行，交点的末坐标应为零。计算确实给出 $$\ell \times k=(-4,2,0{)}^{𝖳},r=[2:-1:0].$$ 方向 $(2,-1)$ 满足 $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$，正是两线的共同方向。齐次方法保留了“无有限交点”这一事实，同时在射影平面中给出了唯一无穷远交点；不能再把末坐标零的结果除以零。

图中的有限部分没有交点；共同无穷远点[2:−1:0]记录方向，没有被画成数轴上的某个遥远位置。

退化输入与代表的选择

叉积等于零时不能把结果当作齐次点或齐次直线。例如 $p\times (2p)=0$，因为两个输入本来就是同一个射影点，它们不能决定唯一连线。同一条直线与自己的倍数作叉积也为零，因为交集是一整条线，而不是唯一点。两条不同的平行线则不会产生零向量，上例已经给出其非零无穷远交点。

比例等价还意味着向量加法不能直接当作射影点的加法。上述两点若取 $p+q=(4,3,2{)}^{𝖳}$，得到普通点 $(2,3/2)$；若先把同一个点 $p$ 换成 $2p$，再加 $q$，则得到 $(5/3,5/3)$。两者不同。计算普通平面的中点时，应先把有限点都归一化到 $W=1$，再对普通坐标使用仿射平均。

在 $n$ 维情形中，同样用 $n+1$ 个非全零坐标、模掉共同非零倍数来表示 ${\mathbb{P}}^n(ℝ)$。但这里用三维叉积统一连线和交点的简便形式属于射影平面；高维中的直线一般不能再由一个与点同样长的列向量表示。