分形维数

分形维数（fractal dimension）是一类用尺度变化刻画集合复杂程度的维数概念。把尺子或覆盖盒缩小，观察覆盖对象所需的数量怎样增长，可以得到不同于整数的指数。这个指数不表示“有小数个坐标”，而是在指定的度量和覆盖规则下，对细节增长速度的描述。豪斯多夫维数和盒维数是两种常用定义；它们在许多规则的自相似集合上相等，在一般集合上可能不同。

从线段和正方形开始计数

用长度为 $\epsilon$ 的闭区间覆盖单位线段，最少需要 $\lceil 1/\epsilon \rceil$ 个。特别地，尺子长度依次为 $1/3,1/9,1/27$ 时，所需数量为 $3,9,27$：尺度缩小三倍，数量增加三倍。

长度为1的线段，用长度1/3的区间覆盖，最少需要3个。区间可以在端点相交，覆盖的总长度仍须至少为1。

若改用边长为 $\epsilon$、边与坐标轴平行的小正方形覆盖单位正方形，在 $\epsilon =3^{-n}$ 时需要 $9^n$ 个。一个这样的覆盖确实可以按网格排列；反过来，面积为一的正方形不可能由总面积小于一的有限个小正方形覆盖，所以数量不能更少。

同样把尺度缩小三倍，二维正方形需要的覆盖数增加九倍。计数的差别来自要同时分辨两个方向。

这两种关系都可写成近似的幂律 $$N(\epsilon )\approx {\epsilon }^{-D}.$$ 线段对应 $D=1$，正方形对应 $D=2$。取对数后， $$\log N(\epsilon )\approx D\log (1/\epsilon ).$$ 于是 $D$ 成为双对数图上的斜率。对数的底可以改变，只要分子和分母使用同一个底；以不同计量单位表达同一个集合，也只会改变尺度上的固定倍数，不改变极限指数。有限张图看起来近似直线，还不能替代尺度趋于零的数学定义。

盒维数：统一尺寸的覆盖

设 $E\subset {ℝ}^m$ 非空且有界。记 $N_E(\epsilon )$ 为覆盖 $E$ 所需的、边长为 $\epsilon$ 的轴平行闭立方体的最少数量。这里允许盒子移动，并不预先固定网格原点。定义 $${\underset{\_}{\dim }}_{\mathrm{B}}E=\underset{\epsilon \downarrow 0}{lim\; inf}\frac{\log N_E(\epsilon )}{\log (1/\epsilon )},$$ $${\bar{\dim }}_{\mathrm{B}}E=\underset{\epsilon \downarrow 0}{lim\; sup}\frac{\log N_E(\epsilon )}{\log (1/\epsilon )}.$$ 二者相等时，共同值称为盒维数。上下极限分别保留了小尺度中较慢和较快的增长；定义中不能在尚未证明极限存在时直接写一个普通极限。

固定网格计数与这里的最少覆盖数并不逐项相等，但在固定环境维数中可以用与尺度无关的常数倍互相控制。例如一个边长为 $\epsilon$ 的可移动盒，在每个方向最多碰到三个同尺度闭网格区间，因此可用至多 $3^m$ 个网格盒替代。固定常数的对数除以 $\log (1/\epsilon )$ 趋于零，所以不会改变上下盒维数。球覆盖也有相应的尺度常数比较。

豪斯多夫维数：允许各处使用不同大小的覆盖

盒维数在一次计数中让所有盒子一样大。豪斯多夫方法只限制每个覆盖集的直径不超过 $\delta$，允许不同位置使用不同大小的集合。对 $s>0$，采用不含额外归一化因子的约定： $$\begin{array}{cc}{\mathscr{H}}_{\delta }^s(E)& =inf\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s,\\ & E\subset \bigcup _i{U}_i,\mathrm{diam}{U}_i\le \delta .\end{array}$$ 下确界取遍有限或可数覆盖。令 $\delta \downarrow 0$ 得到 ${\mathscr{H}}^s(E)$，再定义 $${\dim }_{\mathrm{H}}E=inf\{s>0:{\mathscr{H}}^s(E)=0\}.$$ 本文只用 $s>0$ 的费用定义维数，空集的维数另约定为零；零维豪斯多夫测度的计数约定见豪斯多夫维数。

覆盖费用随指数改变而发生转变。若 $0<s<t$，每个直径不超过 $\delta$ 的覆盖都满足 $$\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^t\le {\delta }^{t-s}\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^s.$$ 因此指数足够大时，细覆盖的费用可以趋于零；指数较小时则可能无法压低。临界指数本身的测度可以是零、有限正数或无穷，不能只由维数值判断。不同文献对测度加固定归一化因子时，测度数值可能不同，临界维数不变。

两类维数的比较定理

定理。 对非空有界集合 $E\subset {ℝ}^m$， $${\dim }_{\mathrm{H}}E\le {\underset{\_}{\dim }}_{\mathrm{B}}E\le {\bar{\dim }}_{\mathrm{B}}E\le m.$$

证明。 中间的不等式来自上下极限的定义。因为 $E$ 被某个有限边长的大立方体包含，边长 $\epsilon$ 的网格覆盖数至多为 $C{\epsilon }^{-m}$，其中 $C$ 与小尺度无关，所以最后一个不等式成立。

为证第一个不等式，记 $b={\underset{\_}{\dim }}_{\mathrm{B}}E$，任取 $s>b$，再选 $b<t<s$。由下极限的定义，存在趋于零的尺度序列 ${\epsilon }_j$，使 $$N_E({\epsilon }_j)\le {\epsilon }_j^{-t}.$$ 每个边长为 ${\epsilon }_j$ 的立方体的直径为 $\sqrt{m}{\epsilon }_j$，故这些盒子同时给出一个豪斯多夫覆盖： $$\begin{array}{cc}{\mathscr{H}}_{\sqrt{m}{\epsilon }_j}^s(E)& \le N_E({\epsilon }_j)(\sqrt{m}{\epsilon }_j{)}^s\\ & \le m^{s/2}{\epsilon }_j^{s-t}⟶0.\end{array}$$ 由于允许的直径上限减小时，覆盖费用下确界只会增大，这一趋零子序列已经迫使 ${\mathscr{H}}^s(E)=0$。任意 $s>b$ 都成立，于是 ${\dim }_{\mathrm{H}}E\le b$。这里用的是下盒维数，不需要额外假设盒维数极限存在。

完整算例：康托尔集与线段的直积

令 $C$ 为从 $[0,1]$ 反复删去每段中间三分之一所得的康托尔集，考虑平面集合 $$E=C\times [0,1].$$ 第二坐标连续填满一条线段，第一坐标只允许落在 $C$ 中。第 $n$ 级近似是 $2^n$ 根宽为 $3^{-n}$ 的竖条；后续还会在每根竖条内继续挖空。

画中是C₂×[0,1]的覆盖，不是最终集合的全部细节。4根竖条各需9个边长1/9的盒子，共36个；继续细分时，每一尺度的盒数再乘6。

盒数的上界和下界。 在尺度 ${\epsilon }_n=3^{-n}$，每根竖条需要 $3^n$ 个盒子，故 $$N_E(3^{-n})\le 2^n{3}^n=6^n.$$ 要说明这已经最少，取每个第 $n$ 级康托尔区间的左端点。这些点都属于 $C$，任意相邻两点的距离至少为 $2{\epsilon }_n$。边长为 ${\epsilon }_n$ 的轴平行盒最多碰到其中一条竖直纤维；每条纤维长一，至少需要 $3^n$ 个盒子。因此下界也是 $6^n$，得到精确计数。

同一尺度下的理论最少盒数

n	ε=3⁻ⁿ	单位线段	单位正方形	C×[0,1]
1	1/3	3	9	6
2	1/9	9	81	36
3	1/27	27	729	216

在 $3^{-(n+1)}\le \epsilon \le 3^{-n}$ 之间，用覆盖数随尺度单调的性质夹住： $$6^n\le N_E(\epsilon )\le 6^{n+1}.$$ 于是上下盒维数都为 $$D=\frac{\log 6}{\log 3}=1+\frac{\log 2}{\log 3}\approx \mathrm{1.630929754.}$$ 例如把尺度从 $1/9$ 改到 $1/27$，盒数从 $36$ 改到 $216$，两点斜率为 $\log (216/36)/\log 3=D$。这次有限计算与极限一致，是因为前面已经证明了所有层级的精确计数和中间尺度的夹逼。

横轴为log(1/ε)，纵轴为log N。数据来自已证明的层级计数，三条斜率分别为1、2与log6/log3；这是理论算例，不是对物理测量作回归。

豪斯多夫下界。 还需排除“改用不同大小的盒子后费用可以任意降低”的可能。豪斯多夫维数中构造了康托尔概率测度 $\mu$：每个第 $n$ 级区间分得质量 $2^{-n}$。若 $d=\log 2/\log 3$，任意长度为 $0<r\le 1$ 的区间 $I$ 满足 $\mu (I)\le 4r^d$。

令 $\nu$ 为 $E$ 上的乘积概率测度：横向按 $\mu$ 分配，纵向按单位线段上的均匀长度分配。直径为 $r$ 的闭集 $U$，在两个方向的投影都包含于长度不超过 $r$ 的区间，故 $$\nu (U)\le 4r^{d}r=4r^{1+d}.$$ 当 $r=0$ 时，闭集为空集或单点，其纵向长度测度为零，同一估计仍成立。 豪斯多夫覆盖可取闭集，因为取闭包不改变直径。对任意直径至多一的可数闭覆盖求和，便有 $$1=\nu (E)\le \sum _i\nu (U_i)\le 4\sum _i(\mathrm{diam}{U}_i{)}^{1+d}.$$ 所以 ${\mathscr{H}}^{1+d}(E)\ge 1/4>0$，推出 ${\dim }_{\mathrm{H}}E\ge 1+d$。结合比较定理给出的上界，三种维数恰好都等于 $D$。这个证明并没有假设一般集合的维数总能直接相加。

变式。 把纵向线段改为 $[0,2]$。在尺度 $3^{-n}$，每条纤维需 $2\cdot 3^n$ 个盒子，因此总数为 $2\cdot 6^n$。多出的常数二在取对数并除以 $n\log 3$ 后消失，维数仍为 $D$；图形变高与指数增大是两件不同的事。

相同的集合可以得到不同维数

取 $A=\mathbb{Q}\cap [0,1]$。它在每个小区间里都有点，却是可数集。枚举为 $q_1,q_2,\dots$，对任意 $s>0$、$\delta >0$ 和 $0<\eta \le 1$，用长度 $${\ell }_i=\delta (\eta 2^{-i}{)}^{1/s}$$ 的区间分别覆盖 $q_i$。这些直径都不超过 $\delta$，总费用为 $\sum _i{\ell }_i^s={\delta }^s\eta$。令 $\eta \downarrow 0$，得到任意 $s>0$ 下测度均为零，故 ${\dim }_{\mathrm{H}}A=0$。

另一方面，任何有限个闭区间组成的覆盖若包含稠密的 $A$，其并也包含闭包 $[0,1]$。因此同尺寸覆盖必须像覆盖整条单位线段一样，最少需要 $\lceil 1/\epsilon \rceil$ 个区间，盒维数为一。两种答案不同，来自覆盖规则不同，并非其中一个计算失误。紧可数集上也可能出现严格差别，见盒维数的倒数序列算例。

自相似公式与观测数据的边界

若一个集合由 $M$ 个压缩比相同、均为 $r$ 的相似副本构成，常见的相似维数方程是 $M{r}^s=1$。它要成为豪斯多夫维数的计算公式，需要相应分离条件；一般的不同压缩比对应 $\sum _i{r}_i^s=1$。这些条件和重叠反例分别见自相似集、迭代函数系统。不能只数映射的条数，而忽略它们可能完全覆盖同一部分。

数学中的无限集合与有限数据也要区分。任意一个固定的有限点集，盒数在尺度足够小时最终不再增加，真实盒维数为零。图像、点云或海岸线测量中的“分形维数”，通常是某段可分辨尺度上的有效指数，必须同时报告盒子的定义、尺度范围、分辨率、样本量与拟合方式。过粗尺度受到边界形状影响，过细尺度会遇到像素或点间距；改变拟合区间可能改变估计，不能仅凭一条有限的拟合直线认定所有尺度都遵守同一个幂律。