托内利定理

托内利定理（Tonelli's theorem）说明：在两个σ有限测度空间的乘积上，非负可测函数的积分等于任意一个次序的累次积分，公共值可以是正无穷。它允许先选择容易计算的方向，不必预先证明积分有限。非负性让所有近似都只在增加质量，不会因正负抵消而改变结果。

例如，在第一象限中，只累计直线 $y=2x$ 上方的权重 $e^{-x-y}$。若先固定 $x$，内层区间是 $2x\le y<\mathrm{\infty }$；若先固定 $y$，内层区间则是 $0\le x\le y/2$。托内利定理保证这两种累计方式相同；边界必须先随方向改写正确。

定理及其条件

设 $(X,𝒜,\mu )$、$(Y,ℬ,\nu )$ 为σ有限测度空间；也就是说，每个空间都能被可列个有限测度集合覆盖。记 $\mu \otimes \nu$ 为乘积测度，设 $$f:X\times Y⟶[0,\mathrm{\infty }]$$ 对乘积σ代数 $𝒜\otimes ℬ$ 可测。对每个固定坐标，截面函数 $y\mapsto f(x,y)$ 和 $x\mapsto f(x,y)$ 都可测；定义非负扩展值函数 $$g(x)={\int }_{Y}f(x,y)\mathrm{d}\nu (y),$$ $$h(y)={\int }_{X}f(x,y)\mathrm{d}\mu (x).$$ 则 $g$、$h$ 分别对 $𝒜$、$ℬ$ 可测，而且 $$\begin{array}{cc}{\int }_{X\times Y}f\mathrm{d}(\mu \otimes \nu )& ={\int }_{X}g(x)\mathrm{d}\mu (x)\\ & ={\int }_{Y}h(y)\mathrm{d}\nu (y).\end{array}$$ 三个积分都作为非负勒贝格积分定义，取值属于 $[0,\mathrm{\infty }]$，并不要求有限。

“$f$ 可测”指联合可测，不能只用“对每个坐标分别可测”来替代。上述“每个截面”也以未完备化的乘积σ代数为前提。当两个因子空间都完备且σ有限时，乘积测度完备化后的版本只保证几乎处处截面可测，并据此定义累次积分；若因子未完备，应同时完成因子测度后使用相应版本，不能只完成乘积却保持原来的因子可测性要求。

第一象限中的指数权重

在 $X=Y=[0,\mathrm{\infty })$ 上使用Borel集合上的长度测度，令 $$D=\{(x,y):x\ge 0,y\ge 2x\},$$ $$f(x,y)=e^{-x-y}{\mathrm{𝟏}}_D(x,y).$$ 其中 ${\mathrm{𝟏}}_D$ 在 $D$ 内为一，外部为零。集合 $D$ 闭，指数函数连续，所以 $f$ 联合可测；它处处非负，长度测度σ有限。定理的条件已经具备，尚无需先算出总量。

图只显示有限窗口，区域向无穷远继续延伸。颜色填充表示积分区域，权重仍由e的负x减y次幂给出，并非均匀密度。

先对 $y$ 积分。固定 $x\ge 0$ 后，权重非零的部分是 $y\in [2x,\mathrm{\infty })$，故 $$\begin{array}{cc}g(x)& =e^{-x}{\int }_{2x}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}\mathrm{d}y\\ & =e^{-x}{e}^{-2x}=e^{-3x}.\end{array}$$ 再对 $x$ 累计，得到 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-3x}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}.$$ 这里的反常积分可理解为在有限区间上积分后，由单调收敛令上端点趋于无穷。

换一个方向，固定 $y\ge 0$ 时，把条件 $y\ge 2x$ 解为 $0\le x\le y/2$，于是 $$\begin{array}{cc}h(y)& =e^{-y}{\int }_0^{y/2}{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ & =e^{-y}(1-e^{-y/2}).\end{array}$$ 每个 $h(y)\ge 0$。计算外层积分时，右侧两个指数项各自的积分都有限，因而可以相减： $$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}h(y)\mathrm{d}y& =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.\end{array}$$ 图中的 $x=0.5$ 截面从 $y=1$ 开始；$y=2$ 截面到 $x=1$ 结束。它们对应的界限正是两次内层积分的具体代入。

变式。 把直线改为 $y=3x$，保持权重不变。先对 $y$ 积分得到 $g(x)=e^{-4x}$，总量为 $1/4$。另一方向为 $$h(y)=e^{-y}(1-e^{-y/3}),$$ 外层积分为 $1-3/4=1/4$。区域变窄使总量减小。更一般地，边界为 $y=ax$、$a>0$ 时，总量为 $1/(1+a)$；这来自同一组界限的计算，而不需要另外猜一个公式。

从指标函数到一般非负函数的证明

证明分三层，关键工具是已经建立的截面积分公式和单调收敛定理。

指标函数。 若 $f={\mathrm{𝟏}}_E$，其中 $E\in 𝒜\otimes ℬ$，则 $$g(x)=\nu (E_x),h(y)=\mu (E^y).$$ 两者可测，且积分都为 $(\mu \otimes \nu )(E)$，恰是乘积测度的截面积分公式。它可先由矩形和集合的单调类定理建立，不依赖本定理。

简单函数。 若 $$s=\sum _{j=1}^m{a}_j{\mathrm{𝟏}}_{E_j},a_j\ge 0,$$ 其中系数有限、集合 $E_j$ 可测且两两不交，就对每项使用指标函数情形，再用非负积分的有限可加性。所得内层积分是有限个可测非负函数之和，所以可测，且三个积分相等。这里的 $s$ 是简单函数，集合 $E_j$ 不必是矩形。

一般函数。 对任意非负可测 $f$，可用截断和二进制分级构造 $0\le s_n\uparrow f$ 的非负简单函数列。对每个固定 $x$，截面也满足 $s_n(x,\cdot )\uparrow f(x,\cdot )$。记 $$g_n(x)={\int }_Y{s}_n(x,y)\mathrm{d}\nu (y).$$ 在 $Y$ 上使用单调收敛定理，得到 $g_n(x)\uparrow g(x)$。 每个 $g_n$ 已由简单函数情形证明可测，所以极限 $g$ 可测。再在 $X$ 上使用同一定理： $$\begin{array}{cc}{\int }_{X}g\mathrm{d}\mu & =\underset{n}{lim}{\int }_X{g}_n\mathrm{d}\mu \\ & =\underset{n}{lim}{\int }_{X\times Y}{s}_n\mathrm{d}(\mu \otimes \nu )\\ & ={\int }_{X\times Y}f\mathrm{d}(\mu \otimes \nu ).\end{array}$$ 中间一步是简单函数情形，最后一步是在乘积空间上的单调收敛。交换两个坐标重复相同步骤，得到 $h$ 的结论。整个证明没有从无穷总量中减去另一份无穷量，因此结果为正无穷时仍成立。

按高度累计：层饼公式

托内利定理还能把一个函数的积分改写为超水平集的测度。设 $u:X\to [0,\mathrm{\infty }]$ 可测、$\mu$ σ有限。对每个 $x$，长度为 $u(x)$ 的竖线段可以写成 $$u(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{𝟏}}_{\{0\le t<u(x)\}}\mathrm{d}t.$$ 集合 $\{(x,t):0\le t<u(x)\}$ 对乘积σ代数可测。例如，把它写成所有正有理数 $r$ 对应的矩形 $\{x:u(x)>r\}\times [0,r)$ 的可列并，就能验证这一点。对该指标函数使用托内利定理，得到层饼公式： $${\int }_{X}u\mathrm{d}\mu ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mu \{x:u(x)>t\}\mathrm{d}t.$$ 右侧是在每个高度 $t$ 处量出“还高于这一层”的底部大小，再把所有层累计起来。

取 $X=[0,2]$，使用长度测度，令 $u(x)=2-x$。按横坐标直接积分为 $${\int }_0^2(2-x)\mathrm{d}x=2.$$ 另一方面，对 $0\le t<2$，不等式 $2-x>t$ 等价于 $0\le x<2-t$，故超水平集长 $2-t$；对 $t\ge 2$，集合为空。因此层饼公式给出 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mu \{u>t\}\mathrm{d}t={\int }_0^2(2-t)\mathrm{d}t=2.$$ 图中在高度 $t=0.5$ 的水平段长 $1.5$，与竖直方向的函数高度不是同一个量；两种方向累计的是同一个次图形的面积。

按x累计高度与按t累计超水平集的长度，得到同一块三角区域的面积2。

还可计算同一函数的二次矩，而不必重新求 $u^2$ 的超水平集。逐点恒等式 $$u(x{)}^2={\int }_0^{u(x)}2t\mathrm{d}t$$ 和托内利定理给出 $$\begin{array}{cc}{\int }_0^{2}u(x{)}^2\mathrm{d}x& ={\int }_0^{2}2t(2-t)\mathrm{d}t\\ & ={[2t^2-\frac{2}{3}{t}^3]}_0^2=\frac{8}{3}.\end{array}$$ 直接积分 ${\int }_0^2(2-x{)}^2\mathrm{d}x$ 也得 $8/3$。一般的正实数 $p$ 对应权重 $p{t}^{p-1}$，这把函数的幂次积分与其较大取值所占的集合大小联系起来。

无穷值、符号与σ有限性

非负性不意味着积分一定有限。例如，在 $(0,1{)}^2$ 上令 $$f(x,y)=\frac{1}{(x+y{)}^2}.$$ 对每个 $x>0$，内层积分为 $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}y}{(x+y{)}^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$$ 外层积分在 $x=0$ 附近发散到正无穷。由于函数对 $x,y$ 对称，另一次序也给正无穷。定理仍完全成立；它判明这个非负函数总量无穷，而不是保证总量有限。

若函数有正有负，就先对 $|f|$ 使用托内利定理。一旦某个累次积分证明 $\int |f|<\mathrm{\infty }$，便可用富比尼定理处理有符号的 $f$。若正部和负部的积分都无穷，不能把它们相减；这种情形不在托内利定理对非负函数的结论之外额外得到一个“抵消后的总量”。

σ有限性也有实际作用。取 $X=Y=[0,1]$，$\mu$ 为Borel集合上的长度测度，$\nu$ 为所有子集上的计数测度。后者不是σ有限：有限测度集合只能是有限集，可列个有限集无法覆盖不可数的区间。对角线指标 $$f(x,y)={\mathrm{𝟏}}_{\{x=y\}}$$ 仍联合可测，因为对角线是Borel集，而第二因子的σ代数包含Borel集合。固定 $x$，截面是含一个点的集合，$\nu$ 质量为一；固定 $y$，单点的长度为零。因此 $${\int }_X\left({\int }_{Y}f\mathrm{d}\nu \right)\mathrm{d}\mu =1,$$ $${\int }_Y\left({\int }_{X}f\mathrm{d}\mu \right)\mathrm{d}\nu =0.$$ 这两个累次积分已经不同，说明不能把定理的σ有限假设直接删去。这个经典反例也见Tao讲义习题41；同一讲义定理39陈述了因子完备且σ有限时的完备化版本。 它不与定理矛盾，也不表示所有非σ有限模型都失败；它给出了该一般断言不能无条件推广的具体实例。

相关条目

• 乘积测度：矩形规则、截面测度与乘积σ代数。
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• 富比尼定理：绝对可积函数的两种积分次序。
• 勒贝格控制收敛定理：有共同可积控制时的极限与积分交换。