最大值原理

最大值原理（maximum principle）是用边界数据或初始数据控制微分方程解的极值的一类结论。对有界区域内的调和函数，内部值不会超出边界值的范围；对无源热方程，需要考察的是初始时刻和空间侧边界，而不是预先给定未来时刻的数据。原理的条件和不等号方向随算子而定，并非任何平滑函数都具有这种性质。

它可以在尚未求出解时给出上界、比较两个解，进而证明唯一性或估计误差。下面固定拉普拉斯与热算子的符号，从一个具体函数开始，再证明这些结论。

曲率、极值与符号约定

令 $Ω \subset ℝ^{n}$ 为开集， $Δ u = \sum_{j = 1}^{n} u_{x_{j} x_{j}}$ 为拉普拉斯算子。对二次连续可微函数，若 $Δ u = 0$ ，称其为调和函数；若 $Δ u \geq 0$ ，在这里称其为光滑的次调和函数； $Δ u \leq 0$ 对应超调和函数。一般次调和函数还有允许较低正则性的定义，本条只使用可逐点求导的情形。

例如单位圆盘上的 $u (x, y) = x^{2} - y^{2}$ 满足 $u_{x x} = 2$ 、 $u_{y y} = - 2$ ，所以 $Δ u = 0$ 。它沿一个方向上弯，沿另一个方向下弯，在原点的形状是鞍形；“拉普拉斯为零”没有要求每个二阶导数分别为零。

写成极坐标 $x = r \cos θ$ 、 $y = r \sin θ$ 后， $u (r, θ) = r^{2} \cos (2 θ) .$ 边界 $r = 1$ 上的取值介于负一和一之间；在 $r = 1 / 2$ 的同心圆上，取值只介于 $- 1 / 4$ 和 $1 / 4$ 。这一次计算展示了边界与内部的关系，但要对任意调和函数成立，还需要证明。

横轴是角度θ，单位圆上的cos2θ取值在负一与一之间，半径二分之一圆上的四分之一cos2θ取值在负四分之一与四分之一之间 — 两条曲线对应同一个调和函数在两条同心圆上的取值，并非沿同一条空间直线的截面。内部的这条圆没有出现超出边界范围的值。

拉普拉斯算子的弱最大值原理

定理。 设 $Ω$ 非空、有界， $u \in C^{2} (Ω) \cap C (\overline{Ω})$ ，且 $Δ u \geq 0$ 。则 $u (x) \leq max_{\partial Ω} u (x \in \overline{Ω}) .$ 因此，闭区域上的最大值可在边界找到。这里“弱”是对极值结论的称呼，不表示 $u$ 是弱解；本命题依然假设它有内部的连续二阶导数。对 $Δ u \leq 0$ ，将 $u$ 换成 $- u$ ，就得到最小值原理。^[1]

证明。 若已知 $Δ u > 0$ ，它不能在内部取得最大值：在内部最大点，沿每个坐标方向的二阶导数都不大于零，求和就有 $Δ u \leq 0$ ，产生矛盾。

只有 $Δ u \geq 0$ 时，这个判断还不够。函数可能在某点有平坦的顶，例如一维函数 $- x^{4}$ 在原点取最大值，但二阶导数在原点为零；仅在顶点检查一次导数，不能排除这种情形。

为把不严格的不等式变严格，任取 $ε > 0$ ，令 $u_{ε} (x) = u (x) + ε | x |^{2} .$ 则 $Δ u_{ε} \geq 2 n ε > 0$ 。闭包有界闭合，连续的 $u_{ε}$ 在其上必取得最大值；这个最大值只能在边界。选 $R$ 使 $| x | \leq R$ 覆盖整个闭包，对任意 $x \in \overline{Ω}$ 有 $\begin{matrix} u (x) & \leq u_{ε} (x) \\ \leq max_{\partial Ω} u_{ε} \\ \leq max_{\partial Ω} u + ε R^{2} . \end{matrix}$ 令 $ε ↓ 0$ ，即得到结论。这个扰动只用于证明；原函数和原边界数据没有被另换成一个物理问题。

若 $Δ u = 0$ ，对 $u$ 和 $- u$ 分别使用原理，可同时得到 $min_{\partial Ω} u \leq u (x) \leq max_{\partial Ω} u .$ 反之， $Δ u \geq 0$ 本身只提供上界，不能同时推出相应的下界。例如 $u = x^{2} + y^{2}$ 在单位圆周上恒等于一，圆心却为零，完全符合次调和函数的上界结论。

强最大值原理与连通性

弱原理没有排除内部也取到同样的最大值。常数函数的每个内部点都是最大点，而且边界上也有这个值。强最大值原理进一步说明：若 $Ω$ 连通，调和函数在内部取得全域最大值或最小值，则它在整个区域中为常数。这个调和版本不要求区域有界，只要求所说的全域极值确实在内部取得。^[1]

用调和函数的球面平均值性质，可以看见强结论中连通性的作用。设全域最大值为 $M$ ，在内部点 $x_{0}$ 取得。对任意闭球 $\overline{B_{r} (x_{0})} \subset Ω$ ，平均值性质给出 $M = u (x_{0}) = \frac{1}{| \partial B_{r} |} \int_{\partial B_{r} (x_{0})} u d S .$ 球面上处处有 $u \leq M$ 。如果某一点严格小于 $M$ ，连续性会使它附近一片球面都严格小于 $M$ ，球面平均就不可能仍等于 $M$ 。因此球面上处处为 $M$ ；让半径变化，整个小球上都为 $M$ 。

于是集合 $S = {x \in Ω : u (x) = M}$ 非空，并在 $Ω$ 中既开又闭：刚才的论证给出开放性，连续性给出闭合性。连通性迫使 $S = Ω$ 。最小值的情形对 $- u$ 使用同一论证。这里使用了调和函数的平均值定理；并没有声称先前的二阶导数检查已经证明了强原理。

若区域不连通，可以在一个分支恒取一、另一个分支恒取零。函数在每个分支都调和，在第一个分支的内部达到全域最大值，却没有在全部区域上取同一常数。连通条件正是排除这种情况所需的假设。

比较原理与边界误差

极值结论可以用来比较两个未知函数。设 $u, v \in C^{2} (Ω) \cap C (\overline{Ω})$ ， $Ω$ 有界，若 $\begin{matrix} Δ u & \geq Δ v 在 Ω 内, \\ u & \leq v 在 \partial Ω 上, \end{matrix}$ 令 $w = u - v$ ，便有 $Δ w \geq 0$ 且边界上 $w \leq 0$ 。弱最大值原理给出 $w \leq 0$ ，即全区域 $u \leq v$ 。注意这里比较的是 $Δ$ ；若方程写成 $- Δ u = f$ ，源项的不等号需要相应反向。

若两函数满足同一个泊松方程，只是边界数据分别为 $g_{1}, g_{2}$ ，并且 $| g_{1} - g_{2} | \leq δ$ ，则它们的差调和。分别比较 $w$ 与常数 $δ$ 、 $- w$ 与 $δ$ ，得到 $| u (x) - v (x) | \leq δ (x \in \overline{Ω}) .$ 边界的一致误差在这个问题中不会被内部放大。当 $δ = 0$ ，两解相同；这证明的是“至多一个解”，不承担解的存在性证明。

源项误差的屏障函数

若连源项也有误差，就不能只用常数作比较。以单位圆盘为例，设 $\begin{matrix} - Δ u & = f, - Δ v = g, \\ | f - g | & \leq F 在圆盘内, \\ | u - v | & \leq δ 在圆周上, \end{matrix}$ 其中 $F, δ \geq 0$ 为给定上界，所有函数具有上面所需的连续性和内部导数。令 $w = u - v$ ，构造 $b (x, y) = \frac{F}{4} (1 - x^{2} - y^{2}) .$ 它在圆盘内非负，圆周上为零，且 $Δ b = - F$ 。因此 $\begin{matrix} Δ (w - δ - b) & = F - (f - g) \geq 0, \\ Δ (- w - δ - b) & = F + (f - g) \geq 0. \end{matrix}$ 两个括号内的函数在边界都不大于零，应用比较原理，得到逐点误差界 $\begin{matrix} | u - v | & \leq δ + \frac{F}{4} (1 - r^{2}), \\ r & = \sqrt{x^{2} + y^{2}} . \end{matrix}$ 这个 $b$ 称为一个屏障函数：它承担已知源项误差，剩下的函数即可用最大值原理控制。

取教学参数 $F = 4$ 、 $δ = 0.3$ ，圆心误差至多 $1.3$ ，在 $r = 0.8$ 处误差至多 $0.3 + \frac{4}{4} (1 - 0. 8^{2}) = 0.66.$ 这些上界可以达到。令 $v = 0$ 、 $u = 0.3 + 1 - x^{2} - y^{2}$ ，则 $g = 0$ 、 $f = 4$ ，边界差为 $0.3$ ，而上面的误差不等式处处取等号。这也说明有正源项时内部值可以高于边界，不能把调和函数的无源结论直接搬过来。

径向误差上界1.3减r平方在圆心为1.3，在r等于0.8处为0.66，在圆周为0.3，虚水平线标出边界误差0.3 — 同一屏障给出不同位置的误差上界。实线也可由文中的最坏情形函数实际达到；边界误差与源项误差承担不同部分。

更一般地，若 $Ω \subset B_{R} (x_{0}) \subset ℝ^{n}$ ，可选 $b (x) = \frac{F}{2 n} (R^{2} - | x - x_{0} |^{2}) .$ 仍有 $Δ b = - F$ ，且 $b \geq 0$ 于闭区域上；即使它在 $\partial Ω$ 不恰好为零，两个比较函数的边界值仍不大于零。因此同一论证给出 $‖ u - v ‖_{\infty} \leq δ + \frac{F R^{2}}{2 n} .$ 这里用的是包围区域的一个球；半径越松，所得上界可能越保守。

热方程的抛物边界

设 $Ω \subset ℝ^{n}$ 有界， $T > 0$ 。记时空区域及其抛物边界为 $\begin{matrix} Q_{T} & = Ω \times (0, T), \\ Γ_{T} & = (\overline{Ω} \times {0}) \\ \cup (\partial Ω \times [0, T]) . \end{matrix}$ 它包含底部初始面和空间侧面，不把 $Ω \times {T}$ 作为给定数据的边界。未来截面的最大值正是要由已有数据来控制的量。

位置时间矩形中底边和左右侧边着金色，表示初始面和空间边界，顶部虚线表示待估计的终止截面 — 一维空间时，抛物边界是这三条边。顶部不是新的初值面；先控制任意较早截面，再由连续性趋近终止时间。

采用算子 $P u = u_{t} - κ Δ u, κ > 0.$ 设 $u$ 在闭区域上连续，在 $Q_{T}$ 内有连续的时间一阶与空间二阶导数。若 $P u \leq 0$ ，则 $\begin{matrix} u (x, t) & \leq max_{Γ_{T}} u, \\ (x, t) \in \overline{Q_{T}} . \end{matrix}$ 这称为热方程的弱最大值原理。对于 $P u \geq 0$ ，结论相应为最小值下界；对 $P u = 0$ ，上下界都成立。^[2]

证明。 固定 $0 < s < T$ ，并令 $v = u - ε t$ ，其中 $ε > 0$ 。于是 $P v \leq - ε < 0$ 。若 $v$ 在闭截柱 $\overline{Ω} \times [0, s]$ 的最大值不位于初始面或侧边界，它就在某个 $x \in Ω$ 、 $0 < t \leq s$ 处取得。

此时空间方向上 $Δ v \leq 0$ 。若 $t < s$ ，时间导数为零；若 $t = s$ ，从过去时刻趋近该点的左导数非负，而 $s < T$ 保证通常的时间导数存在，所以仍有 $v_{t} \geq 0$ 。于是 $P v = v_{t} - κ Δ v \geq 0$ ，与严格负号矛盾。

所以 $v$ 的最大值在该截柱的抛物边界上。那里 $v \leq u \leq M$ ，其中 $M = max_{Γ_{T}} u$ ；因此对 $t \leq s$ 有 $u = v + ε t \leq M + ε s$ 。先令 $ε ↓ 0$ ，再让 $s ↑ T$ 并使用闭包连续性，结论即成立。

这项证明没有要求时间导数预先连续到达最终截面；选择 $s < T$ 正是为了避免在缺少该正则性时直接对 $t = T$ 求导。

热扩散中的比较与稳定性

在无量纲区间 $0 < x < π$ 上，取 $κ = 1$ ，初值为 $\sin x$ 、两端为零。函数 $u (x, t) = e^{- t} \sin x$ 满足 $u_{t} = - e^{- t} \sin x = u_{x x}$ ，也符合初值及端点值。抛物边界的所有值在零与一之间，原理便在不需要完整求解的情况下保证 $0 \leq u \leq 1$ 。解析式进一步给出时刻 $t$ 的最大值 $e^{- t}$ ，在 $x = π / 2$ 取得；例如 $t = \log 2$ 时为 $1 / 2$ 。

若另一个解 $v$ 满足同一无源方程，并且初始面及侧边界上 $| u - v | \leq δ$ ，则差函数 $w = u - v$ 也满足 $P w = 0$ 。分别应用原理于 $w$ 与 $- w$ ，得 $| u (x, t) - v (x, t) | \leq δ .$ 这是一致范数稳定性。取 $δ = 0$ 得到初边值问题的唯一性；若后来提高侧边界温度，新的上界也随之改变，不能仍拿最初的最高温度约束所有未来时刻。^[3]

变式。 假设在单位圆盘上，边界误差仍不超过 $0.3$ ，但源项误差由四减为二。则屏障变为 $b = (1 - r^{2}) / 2$ ，圆心误差上界为 $0.8$ ， $r = 0.8$ 处为 $0.3 + (1 - 0.64) / 2 = 0.48$ 。边界误差没有被减半，因此不能把原上界 $0.66$ 直接除以二。

适用边界

不等号方向。 对 $Δ u \leq 0$ 的函数，通常得到的是最小值原理；有内部热源的屏障算例已经给出内部最大值高于边界的情形。先确定方程采用 $Δ$ 还是 $- Δ$ ，才能正确比较源项。

零阶项。 改变算子会改变结论。例如 $u (x) = \sin x$ 在 $(0, π)$ 满足 $u^{″} + u = 0$ ，边界为零而内部最大值为一。二阶部分仍椭圆，但正的零阶项使前述边界上界失效。更一般的椭圆算子有相应的最大值定理，须连同系数和零阶项的符号条件一起使用。

无界区域。 在半平面 $y > 0$ 上，调和函数 $u (x, y) = y$ 在有限位置的边界 $y = 0$ 恒为零，却在内部为正且无界。因此，不能删去有界性后仍不加任何无穷远增长条件。全空间热方程的最大值与唯一性结论也需要说明解的增长类别。^[2]

存在性与离散格式。 最大值原理约束已经存在的解；它本身不构造解，也不保证任意数值格式继承同样的上界。离散权重是否非负、边界如何施加、时间步长是否合适，都要另行核对。热方程中的显式差分例子展示了这项区别。

参考文献

↑ ^1.0 ^1.1 John K. Hunter，Notes on Partial Differential Equations, Chapter 2: Laplace's Equation，§2.3，定理2.13、2.15、2.17及定理2.17后的次调和版本。访问日期：2026年10月31日。
↑ ^2.0 ^2.1 Annegret Burtscher，Introduction to Partial Differential Equations，Radboud University，§4.5.1，定理4.12（热方程的最大值原理）及其证明。原讲义按时间、空间的顺序书写区域。访问日期：2026年10月31日。
↑ Stanford University，Math 220B，Heat Equation，§2.8.1—2.8.2，最大值原理与有界区域初边值问题的唯一性。访问日期：2026年10月31日。

[hunter-1] 1.0 ^1.1 John K. Hunter，Notes on Partial Differential Equations, Chapter 2: Laplace's Equation，§2.3，定理2.13、2.15、2.17及定理2.17后的次调和版本。访问日期：2026年10月31日。

[burtscher-2] 2.0 ^2.1 Annegret Burtscher，Introduction to Partial Differential Equations，Radboud University，§4.5.1，定理4.12（热方程的最大值原理）及其证明。原讲义按时间、空间的顺序书写区域。访问日期：2026年10月31日。

[3] Stanford University，Math 220B，Heat Equation，§2.8.1—2.8.2，最大值原理与有界区域初边值问题的唯一性。访问日期：2026年10月31日。

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