椭圆算子

椭圆算子（elliptic operator）是最高阶微分部分在每一个非零实频率方向上均不退化的微分算子；准确地说，它的主符号在这些方向上可逆。实系数二阶标量算子的典型情形，是由一个正定矩阵控制各方向的二阶变化。拉普拉斯方程中的拉普拉斯算子是基本例子，方向性不同的稳态导热、静电势和弹性问题也会产生椭圆算子。

“椭圆”首先描述算子的结构，不表示解的图像是椭圆，也不单独保证一个边值问题有唯一解。下面从一个可以手算的二阶算子出发，再说明一般定义和边界条件的作用。

二阶部分与方向

考虑平面上的算子 $L u = - 2 u_{x x} - 2 u_{x y} - 2 u_{y y} .$ 下标表示偏导数，例如 $u_{x y} = \partial_{x} \partial_{y} u$ 。把它的最高阶系数排成实对称矩阵，得到 $A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) .$ 交叉项的系数是二，而矩阵两个非对角元素各为一：求和 $\sum_{i, j} a_{i j} u_{x_{i} x_{j}}$ 同时包含 $a_{12} u_{x y}$ 和 $a_{21} u_{y x}$ ，在二阶导数连续时它们合为一项。

在方向 $ξ = (ξ_{1}, ξ_{2})$ 上，相应的二次型为 $Q (ξ) = ξ^{𝖳} A ξ = 2 ξ_{1}^{2} + 2 ξ_{1} ξ_{2} + 2 ξ_{2}^{2} .$ 这里的“方向”也有直接的微分意义。试取只沿 $ξ$ 变化的函数 $u (x, y) = h (ξ_{1} x + ξ_{2} y)$ ，链式法则给出 $L u = - Q (ξ) h^{″} (ξ_{1} x + ξ_{2} y) .$ 若某个非零 $ξ$ 使 $Q (ξ) = 0$ ，无论 $h$ 怎样弯曲，最高阶部分都探测不到这种变化。椭圆性排除的正是这种方向上的退化。

把方向坐标旋转为 $η_{1} = \frac{ξ_{1} + ξ_{2}}{\sqrt{2}}, η_{2} = \frac{ξ_{1} - ξ_{2}}{\sqrt{2}},$ 直接展开可得 $Q (ξ) = 3 η_{1}^{2} + η_{2}^{2}, | ξ |^{2} = η_{1}^{2} + η_{2}^{2} .$ 因此，对所有 $ξ \in ℝ^{2}$ ，都有 $| ξ |^{2} \leq Q (ξ) \leq 3 | ξ |^{2} .$ 所有非零方向上都严格为正，且没有方向的系数能趋近零。本例不仅椭圆，还具有后文所说的一致椭圆性。

二次型2ξ1平方加2ξ1ξ2加2ξ2平方等于1的旋转椭圆，短轴沿(1,1)，长轴沿(1,-1)，虚线为单位圆 — 实线是 Q(ξ)=1，而不是某个解 u 的图像。沿特征值三的方向，达到同一个二次型值所需的长度为 1/√3；沿特征值一的方向，长度为一。

图中单位圆用来比较相同长度的方向；旋转椭圆的两条轴恰好对应矩阵的两个特征方向。这也给出用特征值与特征向量判定椭圆性的办法。

主符号与一般定义

设 $Ω \subset ℝ^{n}$ 为开集，考虑光滑系数的 $m$ 阶线性微分算子。采用 $D_{j} = - i \partial_{x_{j}}$ 的记号，将它写为 $P = \sum_{| α | \leq m} p_{α} (x) D^{α} .$ 多重指标 $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ 的分量是非负整数， $| α | = α_{1} + \dots + α_{n}$ ； $D^{α}$ 表示按这些次数求导。主符号只保留阶数恰好等于 $m$ 的部分： $σ_{m} (P) (x, ξ) = \sum_{| α | = m} p_{α} (x) ξ^{α} .$ 若对每个 $x \in Ω$ 和每个实向量 $ξ \neq 0$ ，都有 $σ_{m} (P) (x, ξ) \neq 0,$ 则称标量算子 $P$ 在 $Ω$ 上椭圆。对分量数相等的方程组，主符号是方阵，条件相应改为该矩阵可逆。^[1]

在这个记号下， $- Δ$ 的主符号为 $| ξ |^{2}$ ， $Δ$ 的主符号为 $- | ξ |^{2}$ ；两者都椭圆。最高阶部分乘上一个非零常数不改变其是否可逆。讨论能量估计时通常选择正号约定，正如开头采用 $- \sum a_{i j} \partial_{i} \partial_{j}$ 。

给算子添加一阶项或零阶项，不改变主符号。例如 $- Δ$ 、 $- Δ + 1$ 与 $- Δ - 2$ 都椭圆。它们的解、边值问题的可解性却可以不同；主符号并不记录所有信息。

二阶实标量情形与一致椭圆性

以下专指实系数二阶算子，并把正号约定固定为 $L u = - \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} (x) u_{x_{i} x_{j}} + \sum_{i = 1}^{n} b_{i} (x) u_{x_{i}} + c (x) u .$ 对古典导数而言，系数矩阵的反对称部分在二阶求和中抵消，所以可取 $A (x)$ 对称。若 $A (x)$ 在每一点正定，即 $ξ^{𝖳} A (x) ξ > 0 (x \in Ω, ξ \neq 0),$ 则 $L$ 椭圆。负定矩阵同样给出一般意义下的椭圆算子，可将整个方程乘负一后讨论。对复系数算子或方程组，不能直接用一个实正定矩阵替代一般的主符号定义。

一致椭圆性要求一个不依赖于位置的正下界。在同时假定系数有界的情形，常写成存在常数 $0 < λ \leq Λ < \infty$ ，使 $λ | ξ |^{2} \leq ξ^{𝖳} A (x) ξ \leq Λ | ξ |^{2}$ 对所有 $x \in Ω$ 、 $ξ \in ℝ^{n}$ 成立。若系数只要求可测，则把位置条件改为对几乎处处的 $x$ 成立。不同文献有时只把下界称为“一致椭圆”，另行要求系数有界；使用结论前应确认这两个条件各由哪里保证。^[2]

对称矩阵的谱分解表明，以上条件等价于它的所有特征值都位于同一个固定区间 $[λ, Λ]$ 。本篇开头的矩阵可以取 $λ = 1, Λ = 3$ 。

点态正定而无统一下界

在 $Ω = (0, 1)^{2}$ 上令 $A (x, y) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & x^{2} \end{matrix}) .$ 每一点都有 $x > 0$ ，所以 $Q_{(x, y)} (ξ) = ξ_{1}^{2} + x^{2} ξ_{2}^{2} > 0 (ξ \neq 0) .$ 但取单位方向 $ξ = (0, 1)$ ，二次型值就是 $x^{2}$ 。假如有统一下界 $λ > 0$ ，就必须对所有 $0 < x < 1$ 有 $x^{2} \geq λ$ ；选择足够小的正 $x$ 即产生矛盾。因此它在这个开正方形上点态椭圆，却不一致椭圆。

横轴为位置x，曲线x平方在开区间零到一上为最小特征值，趋近零时没有固定正下界，x大于二分之一的区域下界为四分之一 — 最小特征值随位置趋近边界零。限制在 x>1/2 的子区域后，可以采用 λ=1/4；这不提供整个原区域的统一正下界。

若改在 $ε < x < 1$ 的子区域上考察，其中 $0 < ε < 1$ 固定，就可以取 $λ = ε^{2}$ 、 $Λ = 1$ 。估计中的常数依赖于区域距离退化边界有多远；“每一点都正”与“全区域有相同的正下界”是两种要求。

一个逐项核验的边值算例

仍用开头的常系数矩阵，给定单位正方形 $Ω = (0, 1)^{2}$ 上的零边界值。为展示从解反推右端再核验的过程，构造 $u (x, y) = x (1 - x) y (1 - y) .$ 它在四条边上均为零，且 $\begin{matrix} u_{x} & = (1 - 2 x) y (1 - y), \\ u_{y} & = x (1 - x) (1 - 2 y), \\ u_{x x} & = - 2 y (1 - y), \\ u_{y y} & = - 2 x (1 - x), \\ u_{x y} & = (1 - 2 x) (1 - 2 y) . \end{matrix}$ 代入算子后，方程的右端应为 $\begin{matrix} f (x, y) = & 4 y (1 - y) + 4 x (1 - x) \\ - 2 (1 - 2 x) (1 - 2 y) . \end{matrix}$ 因此，这个多项式是 $L u = f$ 配合所给边界值的一个古典解。以中心点作一次数值核验： $u (1 / 2, 1 / 2) = 1 / 16$ 、 $u_{x x} = u_{y y} = - 1 / 2$ 、 $u_{x y} = 0$ ，从而 $L u = 2 = f (1 / 2, 1 / 2)$ 。

还可以核对一个覆盖整个区域的能量恒等式。对方程乘 $u$ 后分部积分，边界项因 $u = 0$ 消失，得到 $\int_{Ω} f u d x d y = \int_{Ω} (2 u_{x}^{2} + 2 u_{x} u_{y} + 2 u_{y}^{2}) d x d y .$ 本例中 $\begin{matrix} \int_{0}^{1} (1 - 2 x)^{2} d x & = \frac{1}{3}, \\ \int_{0}^{1} x^{2} (1 - x)^{2} d x & = \frac{1}{30}, \\ \int_{0}^{1} x (1 - x) (1 - 2 x) d x & = 0. \end{matrix}$ 于是 $\int_{Ω} u_{x}^{2} = \int_{Ω} u_{y}^{2} = 1 / 90$ ，交叉项积分为零，右端为 $2 / 45$ 。左端中前两项各贡献 $4 \cdot (1 / 6) \cdot (1 / 30) = 1 / 45$ ，最后一项为零，也得到 $2 / 45$ 。这一次检查同时涉及二阶方程、边界条件与一阶能量，能发现交叉项系数或分部积分符号的错误。

能量与唯一性

对变系数问题，能量形式自然对应散度型算子 $L u = - \nabla \cdot (A (x) \nabla u) + c (x) u .$ 若 $A$ 为常矩阵，它与前面的非散度型二阶部分一致；若 $A$ 随位置变化，展开散度时还会出现系数的一阶导数，不能漏掉。

唯一性命题。 设 $Ω$ 是有界连通区域，边界光滑； $A \in C^{1} (\overline{Ω})$ 实对称并满足一致正下界 $λ > 0$ ， $c \in C (\overline{Ω})$ 且 $c \geq 0$ 。则同一个方程 $L u = f$ 与同一组 Dirichlet 边界值，至多有一个 $C^{2} (\overline{Ω})$ 解。

证明。 若有两个解，取其差 $w = u - v$ ，则 $L w = 0$ ，边界上 $w = 0$ 。乘以 $w$ 并在区域上积分，得到 $0 = \int_{Ω} ((\nabla w)^{𝖳} A \nabla w + c w^{2}) d x .$ 边界通量项为 $\int_{\partial Ω} w (A \nabla w) \cdot n$ ，因 $w = 0$ 消失。由矩阵下界与 $c \geq 0$ ，上式推出 $0 \geq λ \int_{Ω} | \nabla w |^{2} d x \geq 0.$ 故梯度平方积分为零。梯度连续，所以处处为零；连通性使 $w$ 为常数，零边界值使该常数为零，因而两解相同。

这个论证给出的是唯一性，不是存在性证明。散度型问题还可以在适当函数空间中定义弱解，借助能量强制性证明存在性；右端、系数、区域与边界数据仍须满足相应定理的假设。^[2]

若删去零阶项的符号要求，椭圆性自身不能代替它。例如，在 $(0, π)^{2}$ 上， $L = - Δ - 2$ 仍一致椭圆，但 $u (x, y) = \sin x \sin y$ 满足 $L u = 0$ 和零边界值。零函数也满足同一问题，所以解不唯一。两者的差在能量式中同时产生梯度能量与负的 $- 2 u^{2}$ 项，它们可以抵消；前述证明正是在这一处失效。

参数变式

把开头的矩阵改为 $A_{b} = (\begin{matrix} 1 & b \\ b & 1 \end{matrix}), b \in ℝ .$ 求使它正定的参数范围，并判断端点情形。

解。沿 $(1, 1)$ 和 $(1, - 1)$ 的特征值分别为 $1 + b$ 与 $1 - b$ ，因此正定等价于 $- 1 < b < 1$ 。固定这样的 $b$ 时，可取 $λ = 1 - | b |, Λ = 1 + | b | .$ 当 $b = 1$ 时， $Q (ξ) = (ξ_{1} + ξ_{2})^{2}$ ，在 $ξ = (1, - 1)$ 处为零； $b = - 1$ 时同理存在退化方向。当 $| b | > 1$ 时，两特征值异号，二次型可以在非零向量处取零，因而不椭圆。即便只取 $| b | < 1$ ，若让参数无限接近一，也不能为这一整族选出相同的正下界。

参考文献

↑ Semyon Dyatlov，Lecture notes for 18.155: distributions, elliptic regularity, and applications to PDEs，MIT，定义12.17、定义13.9及定理14.23中的方程组椭圆性假设。访问日期：2026年10月30日。
↑ ^2.0 ^2.1 John K. Hunter，Notes on Partial Differential Equations, Chapter 4: Elliptic PDEs，University of California, Davis，§4.6，定义4.16；§4.7讨论相应能量估计与可解性。访问日期：2026年10月30日。

[dyatlov-1] Semyon Dyatlov，Lecture notes for 18.155: distributions, elliptic regularity, and applications to PDEs，MIT，定义12.17、定义13.9及定理14.23中的方程组椭圆性假设。访问日期：2026年10月30日。

[hunter-2] 2.0 ^2.1 John K. Hunter，Notes on Partial Differential Equations, Chapter 4: Elliptic PDEs，University of California, Davis，§4.6，定义4.16；§4.7讨论相应能量估计与可解性。访问日期：2026年10月30日。

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