抛物型方程

抛物型方程（parabolic equation）是一类具有扩散型演化结构的偏微分方程。二阶标量方程中，常见形式是一阶时间导数与空间上的二阶椭圆算子相结合，例如热方程 $u_t=\kappa u_{xx}$，其中 $\kappa >0$。正向演化会抑制细密起伏，并可在正时间使粗糙初值变得光滑；这些性质与空间主部的正定性、选定的时间方向及具体数据条件有关。

“抛物型”并不是说解的图像必须是一条抛物线。下文讨论二阶、线性的标量演化框架，并用一个初始时刻有跳跃的扩散问题，说明方程分类、平滑和传播范围之间的关系。

二阶空间主部与时间方向

令 $x=(x_1,\dots ,x_d)$ 表示空间，$t$ 表示时间。一种非散度形式是 $$\begin{array}{cc}Pu& =u_t-\sum _{i,j=1}^d{a}_{ij}(x,t)u_{x_i{x}_j}\\ & +\sum _{i=1}^d{b}_i(x,t)u_{x_i}+c(x,t)u=f.\end{array}$$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 可取实对称；对二次可微函数，反对称部分与对称的二阶导数相消。若存在与位置、时间无关的常数 $0<\lambda \le \Lambda <\mathrm{\infty }$，使 $$\lambda |\xi {|}^2\le {\xi }^{𝖳}A(x,t)\xi \le \Lambda |\xi {|}^2$$ 对所讨论时空区域及所有 $\xi \in {ℝ}^d$ 成立，就得到这里采用的一致抛物性。它说明各个空间方向都保有正的扩散强度；仅在个别点或方向非负，尚不足以给出同一一致下界。

散度形式也很常见： $$u_t-\mathrm{\nabla }\cdot (A\mathrm{\nabla }u)+𝒃\cdot \mathrm{\nabla }u+cu=f.$$ 当系数可微时，把散度展开会同时产生二阶项与一阶项；当系数仅可测时，通常保留散度写法并采用弱解，不能假装系数的古典导数仍处处存在。不同解的正则性、存在性与边界理论还需要相应的系数和数据条件，不能仅由“一致抛物”四字代替。

对二维变量 $(x,t)$，若只把总阶数为二的项写成 $A_0{u}_{xx}+2B_0{u}_{xt}+C_0{u}_{tt}$，热方程没有 $u_{tt}$ 和 $u_{xt}$，所以 $B_0^2-A_0{C}_0=0$，这解释了传统的“抛物型”名称。然而，$u_t=\kappa u_{xx}$ 与反向扩散 $u_t=-\kappa u_{xx}$ 在这个判别式下都为零。判别式不能单独判断沿指定时间方向是否稳定；标准正向形式要求 $u_t-\kappa u_{xx}=0$ 中 $\kappa >0$。

扩散的时空尺度

热方程的时间和空间不采用同一缩放。若 $u$ 满足常系数方程，任取 $r>0$，令 $$w(x,t)=u(rx,r^{2}t).$$ 链式法则给出 $$w_t=r^2{u}_t(rx,r^{2}t),w_{xx}=r^2{u}_{xx}(rx,r^{2}t),$$ 所以 $w_t=\kappa w_{xx}$ 仍成立。空间导数权重为一、时间导数权重为二时，${\partial }_t$ 与 ${\partial }_x^2$ 正好具有相同权重。

因此，扩散到长度 $\ell$ 的典型时间尺度为 ${\ell }^2/\kappa$，传播宽度的典型量级为 $\sqrt{\kappa t}$。长度增为两倍，相应时间尺度增为四倍。这是尺度关系，不是一条具有锐利前沿的传播定律；例如下面的高斯尾部在任意正时间已经延伸到全线。

有跳跃初值的完整扩散算例

在整条实线上考虑 $u_t=\kappa u_{xx}$。令 $u$ 为归一化温升，取初值 $$u_0(x)=\{\begin{array}{cc}1,& |x|<\ell ,\\ 0,& |x|>\ell ,\end{array}\ell >0.$$ 两个端点的单点赋值不影响积分。初始温升只在一段有限区间存在，且在两端跳跃，因此不能要求解连续延拓到初始时刻的每个点。

全线正常数扩散率的热核为 $$G_t(z)=\frac{1}{\sqrt{4\pi \kappa t}}\exp (-\frac{z^2}{4\kappa t}),t>0.$$ 它处处为正、积分为一，并满足 ${\partial }_t{G}_t=\kappa {\partial }_{zz}{G}_t$。把初值与核卷积得到 $$u(x,t)={\int }_{-\ell }^{\ell }{G}_t(x-y)\mathrm{d}y.$$ 全线核的归一化与方程检验见热核；这里的积分对象是一个有限宽度的初始场，不是一个点源。

为实际计算，定义误差函数 $$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^z{e}^{-r^2}\mathrm{d}r.$$ 在卷积中换元 $r=(y-x)/\sqrt{4\kappa t}$，上下限分别变为 $(-\ell -x)/\sqrt{4\kappa t}$ 与 $(\ell -x)/\sqrt{4\kappa t}$。利用误差函数为奇函数，得到 $$\begin{array}{cc}u(x,t)=\frac{1}{2}[& \mathrm{erf}\left(\frac{x+\ell }{\sqrt{4\kappa t}}\right)\\ & -\mathrm{erf}\left(\frac{x-\ell }{\sqrt{4\kappa t}}\right)].\end{array}$$

取教学参数 $\ell =1\mathrm{m}$、$\kappa =0.25{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/\mathrm{s}$。以下坐标数值以米、秒计。在 $t=1\mathrm{s}$ 时，$\sqrt{4\kappa t}=1\mathrm{m}$，所以 $$\begin{array}{cc}u(0,1)& =\mathrm{erf}(1)\approx 0.84270079,\\ u(2,1)& =\frac{\mathrm{erf}(3)-\mathrm{erf}(1)}{2}\\ & \approx \mathrm{0.07863856.}\end{array}$$ 原点的温升下降，而最初区间外的 $x=2\mathrm{m}$ 已经升温。图中初始台阶与三条正时间曲线使用同一个初值，边缘逐渐展宽，不能把它们当作不同宽度的独立输入。

正时间剖面由同一段初始温升扩散而来。初始台阶的竖虚线只表示跳跃，不指定端点值；标记点是 t=1 时的 (2,0.07863856)。

因为 $G_t(x-y)>0$ 且积分区间长度 $2\ell >0$，对每个有限位置 $x$ 和每个 $t>0$，都有 $u(x,t)>0$。这比有限张曲线图所能展示的范围更强，结论来自积分正性。远处的数值可以极小：本例 $u(5,1)\approx 7.7086\times 10^{-9}$。图的纵轴改用 ${\log }_{10}u$，才能看清普通线性坐标下几乎贴住零轴的尾部。

纵轴是 log₁₀u，不是温升本身。曲线低于零表示 0<u<1，不表示负温升；正尾部没有有限的截止位置。

总温升积分仍满足 $$\begin{array}{cc}{\int }_{ℝ}u(x,t)\mathrm{d}x& ={\int }_{-\ell }^{\ell }[{\int }_{ℝ}{G}_t(x-y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y\\ & =2\ell .\end{array}$$ 交换积分对这里的非负被积函数成立。峰值降低、范围变宽与总量保持并不冲突；这个全线结论也不能直接套用到有吸热边界或反应源项的问题。

正时间平滑与初始极限

卷积不仅给出图像，也说明了平滑的原因。对任意非负整数 $k$，高斯核的 $k$ 阶空间导数是“多项式乘高斯”，仍可积。通过缩放变量可得 $$\Vert {\partial }_x^k{G}_t{\Vert }_{L^1}=C_k(\kappa t{)}^{-k/2},$$ 其中 $C_k$ 为只依赖阶数的有限常数。于是对于有界初值， $$\Vert {\partial }_x^{k}u(\cdot ,t){\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C_k(\kappa t{)}^{-k/2}\Vert u_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$$ 只要时间离零有正距离，右侧就有限，各阶求导可在积分中进行；时间导数也由热核方程控制。因此解在 $t>0$ 时光滑。这一估计同时解释了限制：当 $t\downarrow 0$ 时，高阶导数的上界可能发散，不能由正时间光滑推出初值也光滑。

本例在 $|x|<\ell$ 的固定点趋于一，在 $|x|>\ell$ 的固定点趋于零。在跳跃点 $x=\pm \ell$，由误差函数式则趋于 $1/2$。初值在连续点逐点恢复，不要求任意指定的孤立端点值也被逐点恢复。它在初始跳跃处没有闭包连续性，与古典解词条中的初值正则性区分一致。

还可以直接量化全线积分意义下的初值恢复。将初始区间平移距离 $z$ 后，两个区间不同部分的总长度为 $2min(|z|,2\ell )$，所以 $$\Vert u_0(\cdot -z)-u_0{\Vert }_1\le 2|z|.$$ 把此式按热核权重平均，利用其积分为一，得到 $$\begin{array}{cc}\Vert u(\cdot ,t)-u_0{\Vert }_1& \le 2{\int }_{ℝ}|z|G_t(z)\mathrm{d}z\\ & =4\sqrt{\frac{\kappa t}{\pi }}⟶0.\end{array}$$ 最后的积分可在正半轴换元 $r=z^2/(4\kappa t)$ 求出。这样，跳跃点上无法同时满足的连续性，并不妨碍整体 $L^1$ 初值收敛。

高频衰减与反向问题

对空间振荡 $\cos (kx)$，设解为 $u(x,t)=a(t)\cos (kx)$，代入得到 $$a^{\prime }=-\kappa k^{2}a,a(t)=a(0)e^{-\kappa k^{2}t}.$$ 波数越大，起伏越细，衰减越快。这是另一种看待平滑的方式：它不是把所有位置同时减去同一个数，而是对不同空间尺度施加不同强度的抑制。

这种演化不能稳定地倒放。以无量纲的 $2\pi$ 周期空间为例，固定 $T>0$，反向方程 $w_t=-\kappa w_{xx}$ 有光滑解 $$w_n(x,t)=e^{-\kappa n^{2}T/2}{e}^{\kappa n^{2}t}\cos (nx).$$ 初始最大幅度 $e^{-\kappa n^{2}T/2}$ 随 $n\to \mathrm{\infty }$ 趋于零；到了时间 $T$，最大幅度却是 $e^{\kappa n^{2}T/2}$，趋于无穷。任意小的高频初始扰动可以变成任意大的结果，因此沿这个反向时间问题不存在相应的稳定性。二阶项的退化判别式没有记录这种正反差别。

变式。 保持 $\kappa$ 不变，把主例初始区间的半宽由一米改为两米。其解为 $\tilde{u}(x,t)=u(x/2,t/4)$；逐项求导有 ${\tilde{u}}_t=u_t/4$、${\tilde{u}}_{xx}=u_{xx}/4$，仍满足热方程。因此四秒时新解的原点值，恰等于原来一秒时的 $\mathrm{erf}(1)$，而不是需要两秒。这验证了长度平方对应时间的缩放关系。

边界、源项与模型范围

有限空间区域上，还需指定初值与相容的边界条件。指定温度的 Dirichlet 条件、指定通量的 Neumann 条件及混合条件描述不同问题；不能把全线高斯核直接当作它们的解。粗糙系数的一致抛物方程也不因此自动具有任意阶古典导数，应按相应弱解与正则性理论讨论。

抛物结构也不意味着所有解的幅度都下降。例如 $u_t=\kappa u_{xx}+u$ 保留同一扩散主部，但空间常量解 $u=e^t$ 仍增长；反应项与扩散项发挥不同作用。全线正常数热方程的即时正尾是所用宏观连续模型的数学性质，不应解释成真实物质或信息可以无限快传播，也不能把它未经检查推广到所有退化或非线性扩散模型。

相关条目

• 热方程、热核：具体模型与基本解。
• 椭圆算子、双曲型方程：空间主部与传播结构的比较。
• 古典解、弱解：正则性与方程成立的含义。
• 量纲分析、能量估计：尺度与解的控制工具。