有界变差函数

有界变差函数（function of bounded variation，简称BV函数）是在给定区间上，把任意有限分割中的函数绝对增量相加后，这些和仍有共同有限上界的函数。它累计每次上升与下降的量；先升后降不会因端点相同而抵消。

例如，一条折线依次经过高度 $0,2,-1,1,0$，起点与终点同高，净变化为零，累计绝对变化却是 $2+3+2+1=8$。有界变差不要求图形光滑，也不要求连续；它要求无论怎样细分观察，总变化不会无限增长。

分割、变差和与总变差

设 $a<b$，$f:[a,b]\to ℝ$。对任意有限分割 $$𝒫:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$ 定义它的变差和 $$S_{𝒫}(f)=\sum _{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|.$$ 总变差是所有分割的变差和的上确界： $$V_a^b(f)=\underset{𝒫}{sup}{S}_{𝒫}(f).$$ 若 $V_a^b(f)<\mathrm{\infty }$，就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界变差，记为 $f\in BV[a,b]$。总变差允许为正无穷；它与某一个有限分割得到的数不是同一回事。

若在一段 $[u,w]$ 中插入 $v$，记 $d_1=f(v)-f(u)$、$d_2=f(w)-f(v)$，则全段增量为 $d_1+d_2$。三角不等式给出 $$|d_1+d_2|\le |d_1|+|d_2|.$$ 因此加分割点不会减少变差和。它可能揭示原先两端之间被抵消的一次折返。

单调不减函数在任意分割中都有 $$S_{𝒫}(f)=\sum _i(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(b)-f(a),$$ 所以总变差就是端点增量。单调不增情形则为 $f(a)-f(b)$。一般函数即使处处有界，反复振荡仍可能带来无穷总变差。

这里的定义针对逐点给定的函数，不按几乎处处相等合并。例如，在 $[0,1]$ 上，函数 $q$ 除 $q(1/2)=1$ 外处处为零。它与零函数几乎处处相等，却有总变差二：分割经过 $1/2$ 时先上升一、再下降一，其他位置没有变化。零函数的总变差则为零。分析弱导数时采用的BV等价类需要另行指定代表元，不能直接忽略这一点。

一条折线的精确累计

在 $[0,4]$ 上，令 $f$ 在相邻整数之间线性，结点值为 $$f(0)=0,f(1)=2,f(2)=-1,$$ $$f(3)=1,f(4)=0.$$ 四段斜率依次为 $2,-3,2,-1$。沿整数结点逐段取绝对值，得到 $$|2-0|=2,|-1-2|=3,$$ $$|1-(-1)|=2,|0-1|=1.$$ 因此该分割的变差和为 $$2+3+2+1=8.$$ 这先证明总变差至少是八，还须说明其他分割不会超过八。

纵向累计上升和下降得到8，端点净变化为0。图上两坐标采用相同单位长度，但这里累计的是纵向变化，不是折线的几何弧长。

任取分割，把 $1,2,3$ 插进去，变差和不会减少。细分后的每个单位区间内函数单调，各小段的绝对增量望远镜相消，分别等于 $2,3,2,1$。所以任意原分割的变差和不超过八，最终得到 $$V_0^4(f)=8.$$ 若只取结点 $0,2,4$，得到 $|-1|+|1|=2$，漏掉了两个峰；只看 $0,4$ 则得到零。有限采样能提供下界，具体图形的单调分段才保证上述上界。

变式。 只把谷底 $f(2)$ 从 $-1$ 改为零，其他结点不变，仍逐段线性。四段变化成为 $2,2,1,1$，同样的细分论证给出总变差六。净变化仍为零，说明总变差能区分具有相同端点、但折返幅度不同的函数。

总变差在相邻区间上可加

若 $f\in BV[a,b]$，且 $a<c<b$，则 $$V_a^b(f)=V_a^c(f)+V_c^b(f).$$

证明。 对任意全区间分割插入 $c$，变差和不减，而插入后的和等于左右两段变差和之和，所以 $$V_a^b(f)\le V_a^c(f)+V_c^b(f).$$ 反方向不能假定上确界一定由某个分割取得。给定 $\epsilon >0$，分别在左右两段选择分割，使各自变差和距相应上确界小于 $\epsilon /2$。把两个有限分割接起来，得到一个全区间分割，故 $$V_a^b(f)>V_a^c(f)+V_c^b(f)-\epsilon .$$ 让 $\epsilon \to 0$，便得反向不等式。总变差有限保证这里没有无穷减无穷。

定义从左端累计的变差函数 $$v(a)=0,v(x)=V_a^x(f)(x>a).$$ 刚才的可加性说明，对 $a\le x<y\le b$， $$v(y)-v(x)=V_x^y(f)\ge |f(y)-f(x)|.$$ 因此 $v$ 单调不减，并且它的增加量足以同时覆盖 $f$ 的向上和向下变化。这是Jordan分解的关键不等式。

Jordan分解：上升与下降分别累计

定理。 实函数 $f:[a,b]\to ℝ$ 有界变差，当且仅当它可以写成两个有限值单调不减函数之差。对有界变差函数，可取从零起算的规范形式 $$P(x)=\frac{v(x)+f(x)-f(a)}{2},$$ $$N(x)=\frac{v(x)-f(x)+f(a)}{2}.$$ 它们满足 $$f(x)=f(a)+P(x)-N(x),$$ $$v(x)=P(x)+N(x),P(a)=N(a)=0.$$ $P$ 记录累计正变差，$N$ 记录累计负变差；二者均不减，而不是把原函数逐点截取正部与负部。

证明。 对 $x<y$，记 $\Delta v=v(y)-v(x)$、$\Delta f=f(y)-f(x)$。上节的不等式给出 $\Delta v\ge |\Delta f|$，而 $$2(P(y)-P(x))=\Delta v+\Delta f.$$ 于是 $$\Delta v+\Delta f\ge |\Delta f|+\Delta f\ge 0.$$ 对 $2(N(y)-N(x))=\Delta v-\Delta f$，使用同一估计也得到非负性，所以 $P,N$ 都不减。相加、相减就验证了规范形式的两个恒等式。

反过来，若 $f=p-n$，其中 $p,n$ 单调不减且为有限实值，则对任意分割， $$S_{𝒫}(f)\le p(b)-p(a)+n(b)-n(a).$$ 右侧有限且不依分割，故 $f\in BV[a,b]$。这证明了两个方向。

对前述折线，结点处的三个累计量如下；结点之间也按直线连接。

$x$	$f(x)$	$v(x)$	$P(x)$	$N(x)$
0	0	0	0	0
1	2	2	2	0
2	−1	5	2	3
3	1	7	4	3
4	0	8	4	4

从零到一，原函数上升二，故 $P$ 增加二、$N$ 不变；从一到二，原函数下降三，故 $N$ 增加三、$P$ 不变。到终点两者都为四，差为零、和为八，分别给出净变化与总变差。

正、负累计量分别增长，v=P+N，而原折线由f=P−N恢复。P与N同为4并不表示函数没有变化。

若不要求规范形式，分解并不唯一：在 $P,N$ 上同时加同一个单调不减函数，差仍不变。要求从零起算并满足 $P+N=v$，则上述加、减关系唯一确定它们。变式中的折线正变差和负变差各为三，总变差为六。

光滑变化与几何弧长

若 $f\in C^1[a,b]$，则 $$V_a^b(f)={\int }_a^b|f^{\prime }(x)|\mathrm{d}x.$$ 对任意分割，微积分基本定理给出变差和不超过右侧。反方向，对每段用中值定理选择 ${\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$，有 $$S_{𝒫}(f)=\sum _i|f^{\prime }({\xi }_i)|(x_i-x_{i-1}).$$ 当分割网格趋于零，这些和因 $|f^{\prime }|$ 连续而趋于其积分。上确界至少等于这个极限，遂得等式。分段 $C^1$ 且全区间连续时，可先按有限个分段点拆开，再用变差的可加性；折线例子的 $2+3+2+1$ 正对应四段的 $\int |f^{\prime }|$。

这里没有把总变差称为曲线长度。令 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$、$\Delta f_i=f(x_i)-f(x_{i-1})$，图形弧长按分割累计的是 $$\sum _i\sqrt{(\Delta x_i{)}^2+(\Delta f_i{)}^2}.$$ 每段还包含水平方向的位移；总变差只累计函数值的绝对变化。例如常量函数总变差为零，但它在 $[a,b]$ 上的水平图形长 $b-a$。

康托函数的连续变化

有界变差允许跳跃，也允许连续而未被导数积分记录的变化。后者可以用康托函数明确构造。

从 $K_0=[0,1]$ 开始，每一步删去已有每个闭区间的开中间三分之一。第 $n$ 步剩下 $2^n$ 个闭区间，各长 $3^{-n}$；它们从左到右记为 $I_{n,k}$，$k=0,\dots ,2^n-1$。定义连续函数 $C_n$：在 $I_{n,k}$ 上从 $k/2^n$ 线性增加到 $(k+1)/2^n$，在各个已删去的间隙上保持常量，使相邻端点连接起来。

例如 $C_0(x)=x$；$C_1$ 在 $[0,1/3]$ 从零升到 $1/2$，在 $[1/3,2/3]$ 恒为 $1/2$，再在 $[2/3,1]$ 升到一。以后只在仍保留的区间内部继续细分，已经恒定的部分不再变化。

曲线画的是有限级近似C3；极限函数由不断细分得到。底部条段表示定义域中保留的区间，短区间中的累计增量并不随总长度一起消失。

对 $m\ge n$，函数 $C_m,C_n$ 在第 $n$ 级已删去的间隙上一致，在每个保留区间内都位于同一对端点值之间；该对数值相差 $2^{-n}$。所以 $$\underset{x\in [0,1]}{sup}|C_m(x)-C_n(x)|\le 2^{-n}.$$ 因此 $C_n$ 一致收敛于连续函数 $C$。每个 $C_n$ 不减、端点为零和一，极限也如此，故 $$V_0^1(C)=C(1)-C(0)=1.$$

康托集 $K=\bigcap _n{K}_n$ 的长度不超过 $(2/3{)}^n$，对每个 $n$ 都成立，因而为零。若 $x\notin K$，它位于某个删去的开区间内，$C$ 在其邻域恒定，所以 $C^{\prime }(x)=0$。于是 $C^{\prime }=0$ 几乎处处，但 $C(1)-C(0)=1$。

同一级的每个保留区间端点值在以后不变，因此 $C$ 在该段的增量仍为 $2^{-n}$。这些区间总长度 $(2/3{)}^n$ 趋零，增量总和却总是一。这说明 $C$ 不是绝对连续函数，也解释了单调、有界变差与连续这三项性质合在一起仍不能替代绝对连续性。

连续但总变差无穷的振荡

在 $[0,1]$ 上令 $$w(0)=0,w(x)=x\sin (1/x)(x>0).$$ 由于 $|w(x)|\le x$，它在零点连续，在正数处也连续。但越来越小的振荡幅度不保证总变化有限。

取 $$x_k=\frac{1}{\pi /2+k\pi }(k=0,1,2,\dots ).$$ 这些点严格递减到零，且 $w(x_k)=(-1{)}^k{x}_k$。所以相邻采样点的绝对增量为 $$|w(x_{k+1})-w(x_k)|=x_k+x_{k+1}.$$ 为符合分割中坐标递增的要求，按反向列出有限序列 $$0<x_N<x_{N-1}<\cdots <x_0<1,$$ 并把零和一也纳入分割。它的变差和至少为中间相邻采样点的贡献： $$S_{𝒫}(w)\ge \sum _{k=0}^{N-1}(x_k+x_{k+1})\ge \sum _{k=1}^N{x}_k.$$ 又因 $$x_k=\frac{1}{\pi (k+1/2)}\ge \frac{1}{\pi (k+1)},$$ 右侧包含一个发散的调和级数下界。因此总变差为正无穷，尽管 $w$ 连续且处处有界。这个例子是经典振荡反例的一个缩放版本，证明依靠明确分割，而非从图上估计振荡次数。

图为有限分辨率下的采样示意，不能显示靠近零的全部振荡。包络保证零点连续；无穷总变差由正文中的调和级数下界证明。

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