赫尔德连续

赫尔德连续（Hölder continuity）用输入距离的幂次控制函数值的变化：存在一个统一常数，使任意两个输入的输出差不超过该常数乘以输入距离的 $\alpha$ 次幂。通常取 $0<\alpha \le 1$；$\alpha =1$ 就是利普希茨连续。指数小于一时，条件允许曲线在某些点具有无穷大的斜率，仍能给出明确的误差界。

例如，$f(x)=2\sqrt[3]{x}$ 在 $[0,1]$ 上满足 $$|f(x)-f(y)|\le 2|x-y{|}^{1/3}.$$ 如果要求任意两个输入的输出差小于 $0.2$，把输入差限制为小于 $0.001$ 就足够。下面证明这个界对所有点都成立，再用它确定分段采样的精度。

统一的幂次条件

设 $E\subseteq {ℝ}^d$ 非空，$f:E\to ℝ$，距离采用欧氏距离。给定 $0<\alpha \le 1$，若存在有限常数 $C\ge 0$，使 $$|f(x)-f(y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }\text{对所有 }x,y\in E,$$ 则称 $f$ 在 $E$ 上以指数 $\alpha$ 赫尔德连续。$C$ 是一个可用的赫尔德常数。这里同一个常数要控制全部点对；只从某一个固定基点检查，不足以验证这个定义。

当 $E$ 至少包含两个点时，所有可用常数的最小值为 $$[f{]}_{\alpha ,E}=\underset{x\ne y}{sup}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }},$$ 上确界中的两个点都取自 $E$。这个量可以为无穷；有限时才符合相应指数的条件。若 $E$ 只有一个点，约定它为零。它称为赫尔德半范数，因为任意常函数的值都为零，不能用它区分零函数与其他常函数。

若 $C>0$，给定输出误差 $\epsilon >0$，取 $$\delta =(\epsilon /C{)}^{1/\alpha }.$$ 只要 $|x-y|<\delta$，就有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$，且所选的 $\delta$ 与基点无关。因此赫尔德连续蕴含一致连续。若 $C=0$，函数在 $E$ 上为常量，结论也成立。

在开集上还常使用局部赫尔德连续：对每个紧包含于开集的子区域，限制后的函数有统一常数；不同子区域的常数可以不同。文献中的 $C^{0,\alpha }$ 有时指这种局部条件，有时指给定闭集上的统一条件，必须连同定义域和范数约定阅读。

立方根的幂次界与最优指数

先证明一个幂函数不等式。对 $0<\alpha <1$、$t\ge 0$，定义 $$q(t)=(1+t{)}^{\alpha }-1-t^{\alpha }.$$ 有 $q(0)=0$；在 $t>0$ 时， $$q^{\prime }(t)=\alpha ((1+t{)}^{\alpha -1}-t^{\alpha -1})\le 0,$$ 因为负指数的幂随正自变量增大而减小。故 $q(t)\le 0$。对非负 $r,s$，若 $r>0$，令 $t=s/r$ 并乘以 $r^{\alpha }$；$r=0$ 时直接核对，得到 $$(r+s{)}^{\alpha }\le r^{\alpha }+s^{\alpha }.$$ 指数为一时，两边恰好相等。

现在令 $x\ge y\ge 0$，把 $x$ 写成 $y+(x-y)$，于是 $$x^{\alpha }-y^{\alpha }\le (x-y{)}^{\alpha }.$$ 交换点的次序便证明了 $$|x^{\alpha }-y^{\alpha }|\le |x-y{|}^{\alpha }.$$ 这给出的是任意点对的统一估计，而不只是在零点附近的一张图。

取 $\alpha =1/3$，乘以二，就得到主例 $f(x)=2\sqrt[3]{x}$ 的常数 $C=2$。在 $x=1,y=0$ 时达到等号，所以更小的常数无法控制这个点对；因此 $$[f{]}_{1/3,[0,1]}=2.$$

f(1/8)=1，f(1)=2。曲线在零附近很陡，但任意点对仍满足三分之一次幂的统一变化界。

这个指数也是主例的最大可用指数。若尝试一个 $\beta >1/3$，只看点对 $h,0$，相应比值就为 $$\frac{|f(h)-f(0)|}{h^{\beta }}=2h^{1/3-\beta }⟶\mathrm{\infty }(h\downarrow 0).$$ 所以没有有限的 $\beta$ 次常数；特别地，主例在 $[0,1]$ 上不利普希茨连续。限制到 $[a,1]$、$a>0$ 时，导数满足 $$|f^{\prime }(x)|=\frac{2}{3}{x}^{-2/3}\le \frac{2}{3}{a}^{-2/3}.$$ 由拉格朗日中值定理，限制后的函数有线性的变化界。全局失败来自包含零的范围，并非每一个子区间都失败。

输入误差的计算

令 $\epsilon =0.2$、$C=2$、$\alpha =1/3$，则 $$\delta =(0.2/2{)}^3=\mathrm{0.001.}$$ 对任意 $x,y\in [0,1]$，输入差严格小于这个数，就保证输出差严格小于 $0.2$。在边界点对 $x=0,y=0.001$，输出差恰为 $0.2$，说明这里的严格不等号确实有作用。

作为变式，取 $x=1/64$、$y=1/8$，输出值分别为 $1/2$、一，实际差为 $1/2$；统一界则是 $$2(7/64{)}^{1/3}=\frac{\sqrt[3]{7}}{2}\approx \mathrm{0.9565.}$$ 此时界并未取到。赫尔德常数必须同时照顾零附近最陡的部分，不要求每一个点对都把界用满。

采样间距与分段近似

将 $[0,1]$ 分成 $m$ 个等长小区间，在每个区间都使用左端点的函数值： $$s_m(x)=f(j/m),\frac{j}{m}\le x<\frac{j+1}{m}.$$ 这里 $j=0,\dots ,m-1$，并另定义 $s_m(1)=f(1)$。因为输入距离不超过 $1/m$，主例的幂次界给出 $$\Vert f-s_m{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 2m^{-1/3}.$$ 范数在这里是逐点绝对误差的上确界。第一个区间中 $s_m=0$；当 $x\uparrow 1/m$ 时，误差趋于 $2m^{-1/3}$，故上确界实际上等于这个界。右端点属于下一小区间，近似函数在该处跳到正确值，不能说最大误差必定在右端点取得。

m=8时误差上确界为一，第一小区间接近右端时逼近这个值。空心点表示该阶梯段不含右端点；x=1另取精确函数值。

取 $m=8,64,512$ 时，误差上确界分别为一、$1/2$、$1/4$。若需要不超过 $0.2$，解 $$2m^{-1/3}\le 0.2$$ 得到 $m\ge 1000$。这一估计来自已知函数的统一幂次界；有限几个采样点恰好接近某条曲线，并不能反过来证明未知函数也满足同样的界。

相同推理适用于任意已知为 $\alpha$ 次赫尔德连续、常数为 $C$ 的函数：网格宽度至多 $h$，便给左端点近似提供误差上界 $C{h}^{\alpha }$。指数决定缩小网格后误差界下降的速率。更高阶或多项式近似使用其他结构，见魏尔斯特拉斯逼近定理。

指数的比较与赫尔德空间

设 $E$ 的直径为有限正数 $D$，即任意点对的距离不超过 $D$。若 $0<\alpha <\beta \le 1$，则 $$|x-y{|}^{\beta }\le D^{\beta -\alpha }|x-y{|}^{\alpha }.$$ 所以 $\beta$ 次条件蕴含 $\alpha$ 次条件，且 $$[f{]}_{\alpha ,E}\le D^{\beta -\alpha }[f{]}_{\beta ,E}.$$ 特别是在单位区间上，指数越大，要求越强。无界集合上必须重新检查大距离：例如 $f(x)=x$ 在全实线上利普希茨连续，但对任何 $\alpha <1$，点对 $R,0$ 的比值为 $R^{1-\alpha }$，随 $R\to \mathrm{\infty }$ 发散，故没有全局的 $\alpha$ 次常数。

在非空紧集 $K$ 上，通常把 $\alpha$ 次赫尔德连续的实函数空间记为 $C^{0,\alpha }(K)$，并用范数 $$\Vert f{\Vert }_{C^{0,\alpha }(K)}=\underset{K}{sup}|f|+[f{]}_{\alpha ,K}.$$ 连续函数在紧集上有界，所以这里第一项有限。加法和数乘逐点进行；三角不等式分别控制上确界项和点对差值项，而范数为零迫使 $\underset{K}{sup}|f|=0$，即零函数。

主例的上确界为二、半范数为二，因此这个范数为四。若把函数整体抬高为 $F(x)=3+2\sqrt[3]{x}$，点对差值完全不变，半范数仍是二；上确界变为五，范数变为七。半范数只量变化，范数还量函数本身的幅度。在无界集合上，即使幂次条件成立，函数也未必有界，不能默认为上述有界函数范数有限。

一组函数若共用同一指数和统一常数，就有共同的连续性控制。再加上紧定义域及一致有界性，可应用阿尔泽拉—阿斯科利定理抽出一致收敛的子序列；该定理要求控制整个函数族，单独每个函数连续并不足够。

连续性与指数范围的边界

连续函数趋近零的速度可以慢于任意正幂。定义 $$\phi (0)=0,\phi (x)=\frac{1}{\log (e/x)}(0<x\le 1).$$ 当 $x\downarrow 0$，分母趋于无穷，因此函数在零处也连续。它在紧区间上还一致连续，但没有任何正指数的赫尔德界。对任意 $\alpha >0$，取 $x_n=e^{-n}$，则 $$\frac{|\phi (x_n)-\phi (0)|}{x_n^{\alpha }}=\frac{e^{\alpha n}}{n+1}.$$ 由指数函数的非负幂级数，$e^{\alpha n}\ge (\alpha n{)}^2/2$，右侧至少为 ${\alpha }^2{n}^2/(2(n+1))$，趋于无穷。这覆盖任意正指数，不能用增加一个有限常数补救。

以α=1/3为例，比值在n=2、4、6时约为1.056、4.200、21.233。连线只辅助读数；对所有正指数失效的结论由正文的发散下界证明。

通常的零阶赫尔德条件把指数限制在一以内，还有结构上的原因。若在实区间 $I$ 上，某个有限常数 $C$ 对所有点对满足同样形式的界，却有 $\alpha >1$，固定 $x<y$，把 $[x,y]$ 等分为 $N$ 段。逐段相加得到 $$\begin{array}{cc}|f(y)-f(x)|& \le NC((y-x)/N{)}^{\alpha }\\ & =C(y-x{)}^{\alpha }{N}^{1-\alpha }.\end{array}$$ 令 $N\to \mathrm{\infty }$，右侧趋于零，所以 $f(x)=f(y)$；函数在区间上只能为常量。这里用到了中间等分点仍在定义域内。若定义域只是 $\{0,1\}$，取 $f(0)=0,f(1)=1$，任意正指数都可取 $C=1$，却并非常量，故不能把区间结论搬到任意集合上。

更高阶正则性通常通过导数表达，例如 $C^{1,\alpha }$ 要求一阶连续可导且一阶导数满足 $\alpha$ 次条件，而不是直接把函数值之差用 $|x-y{|}^{1+\alpha }$ 控制。

相关条目

• 利普希茨连续：指数为一的线性变化界。
• 一致连续：允许一般的输入与输出误差关系。
• 阿尔泽拉—阿斯科利定理：共同连续性控制与函数族的紧性。
• 魏尔斯特拉斯逼近定理：连续函数的多项式一致逼近。
• 绝对连续函数：同时控制不交区间上的总增量。