绝对连续函数

绝对连续函数（absolutely continuous function）要求：在一个区间内选取任意有限个互不重叠的小区间，只要这些区间的总长度足够小，函数在各段上的绝对增量之和就足够小。这里控制的是许多段变化的总和，而不只是单独一段。

在有限闭区间上，绝对连续性恰好对应于能够由可积变化率完整恢复的函数。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在原点附近斜率没有统一上界，却仍绝对连续；关键在于这份陡峭集中在足够短的范围内，其导数的积分仍可控制。

有限区间族的定义

设 $a<b$，$f:[a,b]\to ℝ$。若对每个 $\epsilon >0$，都存在 $\delta >0$，使任意正整数 $m$ 和任意有限区间族 $[u_i,v_i]\subseteq [a,b]$ 都满足以下蕴含关系，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续，记为 $f\in AC[a,b]$：

这些区间满足 $u_i<v_i$，且内部两两不交；允许相邻区间共用端点。若 $$\sum _{i=1}^m(v_i-u_i)<\delta ,$$ 就有 $$\sum _{i=1}^m|f(v_i)-f(u_i)|<\epsilon .$$ 同一个 $\delta$ 必须适用于所有这样的区间族，不能依区间个数 $m$ 重新选择。

只取 $m=1$，就得到同一个 $\delta$ 对所有点对都有效的连续性条件，因此绝对连续函数一致连续。反过来，一致连续只约束单段增量；将许多段各自的小增量相加，结果可能仍不小。后面的康托函数便展示了这种差别。

若 $f$ 为利普希茨连续，即存在有限常数 $L\ge 0$ 满足 $$|f(y)-f(x)|\le L|y-x|,$$ 就可逐段求和： $$\sum _i|f(v_i)-f(u_i)|\le L\sum _i(v_i-u_i).$$ 当 $L>0$ 时取 $\delta =\epsilon /L$ 即可；当 $L=0$ 时函数为常量，任意正 $\delta$ 都适用。绝对连续性允许比这个统一斜率界更一般的情形。

平方根函数的陡峭与累计变化

取 $f(x)=\sqrt{x}$，$0\le x\le 1$。若它是Lipschitz函数，则原点到 $h>0$ 的割线斜率应被同一个常数控制。但 $$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.$$ 令 $h=1/n^2$，这个比值等于 $n$，可以任意大。所以平方根函数在包含原点的这个区间上不是Lipschitz函数。

原点附近的割线斜率没有共同的有限上界。这件事不排除导数可积，也不排除绝对连续性。

对 $t>0$，令 $$g(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}},$$ 并在单点 $t=0$ 赋值 $g(0)=0$。这个赋值不影响勒贝格积分。从任意正下端点开始计算，再让它趋于零，得到 $${\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t=\sqrt{x},{\int }_0^1|g(t)|\mathrm{d}t=1.$$ 因此平方根函数是一个可积函数的积分。下面的证明说明，这种表示足以控制定义中的所有有限区间族。

可积函数的积分必绝对连续

定理。 若 $g$ 在 $[a,b]$ 上勒贝格可测，且 $${\int }_a^b|g(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty },$$ 则对任意常数 $c\in ℝ$，函数 $$F(x)=c+{\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t$$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续。

证明。 先把可积函数中很高、但总量很小的部分分离出来。由于 $|g|$ 可积，勒贝格控制收敛定理给出 $${\int }_{\{|g|>M\}}|g|⟶0(M\to \mathrm{\infty }).$$ 这里被积函数 $|g|{\mathrm{𝟏}}_{\{|g|>M\}}$ 几乎处处趋于零，并被可积的 $|g|$ 控制。给定 $\epsilon >0$，先选定 $M\ge 1$，使这个积分小于 $\epsilon /2$，然后取 $$\delta =\frac{\epsilon }{2M}.$$ 对任意可测集合 $E\subseteq [a,b]$，用 $|E|$ 表示其长度测度。将其按 $|g|\le M$ 与 $|g|>M$ 拆开： $$\begin{array}{cc}{\int }_E|g|& \le M|E|+{\int }_{\{|g|>M\}}|g|.\end{array}$$ 所以 $|E|<\delta$ 时，右侧小于 $\epsilon$。这项性质称为积分的绝对连续性：小长度集合上的积分可以统一变小，集合可以断开成很多块。

现在任取定义中的区间族，令 $E=\bigcup _i[u_i,v_i]$。内部不交使其长度等于各段长度之和，共用端点只有零测度。积分可加性及三角不等式给出 $$\begin{array}{cc}\sum _i|F(v_i)-F(u_i)|& \le \sum _i{\int }_{u_i}^{v_i}|g(t)|\mathrm{d}t\\ & ={\int }_E|g(t)|\mathrm{d}t<\epsilon .\end{array}$$ 整个选择过程先确定 $M$，再确定 $\delta$，两者都不依区间个数。这正是所需的绝对连续性。

平方根例子的具体误差界

对 $f(x)=\sqrt{x}$，可以把刚才的选择写成具体数值。给定 $0<\epsilon \le 1$，取 $$\eta =\frac{{\epsilon }^2}{4},\delta =\eta .$$ 在靠近原点的 $[0,\eta ]$ 上，导数的全部积分为 $\sqrt{\eta }=\epsilon /2$；在剩余范围内， $$g(t)\le \frac{1}{2\sqrt{\eta }}=\frac{1}{\epsilon }.$$ 因此，只要区间族的总长度小于 $\delta$，其增量之和便满足 $$\sum _i|\sqrt{v_i}-\sqrt{u_i}|\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{|E|}{\epsilon }<\frac{3\epsilon }{4}<\epsilon .$$ 第一项允许把原点附近整段都算进去；第二项用斜率上界控制其余部分。对 $\epsilon >1$，沿用 $\epsilon =1$ 对应的选择即可。

例如要求增量总和小于 $0.4$，可取 $\eta =\delta =0.04$。靠近零的积分是 $0.2$，其余部分的斜率不超过 $2.5$；总长度小于 $0.04$ 的任意区间族，累计增量小于 $0.2+2.5\times 0.04=0.3$。

原点附近的完整积分为0.2；图中纵轴只显示到约5，阴影被窗口截断，标出的积分由算式精确计算。曲线向左上继续升高，单点g(0)=0不改变积分。

核对一个具体区间族： $$[0,0.01],[0.25,0.2601],[0.64,0.6561].$$ 总长度为 $0.01+0.0101+0.0161=0.0362$，小于 $0.04$；三个增量为 $$0.1,0.51-0.5=0.01,0.81-0.8=0.01,$$ 相加为 $0.12$。它比统一上界 $0.3$ 更小；统一界的用途是覆盖所有合格区间族，并不追求在每个例子上都取到等号。

变式。 若 $H(x)=3+2\sqrt{x}$，常数 $3$ 在端点差中抵消，增量是原来的两倍。为仍保证总增量小于 $0.4$，可将平方根本身的目标取为 $0.2$，于是取 $\delta =0.2^2/4=0.01$。同样的估计给出平方根增量总和小于 $0.15$，故 $H$ 的增量总和小于 $0.3<0.4$。

有界变差与微积分基本定理

绝对连续函数必为有界变差函数。这里需要对所有分割得到一个共同界，不能把“每段增量小”简单乘以一个可能任意大的分割段数。

证明。 在绝对连续定义中取 $\epsilon =1$，得到 ${\delta }_0>0$。事先固定一个分割，把 $[a,b]$ 分成 $r$ 段，每段长度都小于 ${\delta }_0$。任给另一分割，把这些固定端点全部插进去；三角不等式保证细分后的变差和不会减少。在每个固定小段内，所有细分区间的总长度就是该段长度，所以其绝对增量和小于一。全区间的变差和因而小于固定的 $r$，与任给分割的细密程度无关。对所有分割取上确界，得到有限总变差。

绝对连续性还给出了微积分基本定理的勒贝格版本：

积分表示定理。 对实函数 $f:[a,b]\to ℝ$，以下两项等价：

• $f\in AC[a,b]$；
• 存在 $g\in L^1(a,b)$，使每个 $x\in [a,b]$ 都满足

$$f(x)=f(a)+{\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t.$$

此时 $f^{\prime }$ 几乎处处存在，且 $f^{\prime }=g$ 几乎处处；因此可以把表示式中的 $g$ 换成导数。这里 $L^1$ 表示绝对值可积，见勒贝格空间。上面的截尾证明已给出“存在积分表示则绝对连续”；逆向及导数等于 $g$ 的几乎处处结论使用实分析中的微分定理。详细论证见所引讲义的相应定理，不能只凭形式上对积分求导跳过这一步。

于是，若绝对连续函数满足 $f^{\prime }=0$ 几乎处处，便有 $f(x)=f(a)$。但如果只知道“连续、几乎处处可导、导数可积”，结论仍不够。

连续且有界变差仍可能失败

康托函数 $C:[0,1]\to [0,1]$ 连续、不减，满足 $C(0)=0$、$C(1)=1$。其逐级构造见有界变差函数中的康托函数。第 $n$ 级保留 $2^n$ 个内部不交的闭区间，每段长 $3^{-n}$，而 $C$ 在每段两个端点之间的增量为 $2^{-n}$。

这些区间总长度和增量总和分别为 $$2^n{3}^{-n}=(2/3{)}^n⟶0,$$ $$2^n{2}^{-n}=1.$$ 固定 $\epsilon =1/2$，无论给出多小的 $\delta >0$，都能选足够大的 $n$ 让区间总长度小于 $\delta$，增量总和却仍为一。这直接违反定义，故 $C$ 不是绝对连续函数。

康托函数在康托集外的每个删去开区间上恒定，因而导数为零；康托集本身是零测集，所以 $C^{\prime }=0$ 几乎处处，仍有 $C(1)-C(0)=1$。缺少的正是绝对连续性，它排除了这种未被通常导数积分记录的奇异变化。

相关条目

• 利普希茨连续、赫尔德连续：对单段增量的不同强度控制。
• 勒贝格积分、勒贝格控制收敛定理：可积变化率及小集合上的积分控制。
• 有界变差函数：累计绝对变化、Jordan分解与奇异变化。
• 微积分基本定理：导数与积分的恢复关系。