兰金—雨贡纽条件

兰金—雨贡纽条件（Rankine–Hugoniot condition，简称 RH 条件）是守恒律中移动间断两侧状态必须满足的收支关系。对一维标量方程 $u_{t} + f (u)_{x} = 0$ ，若间断位于 $x = X (t)$ ，令 $s = X^{'} (t)$ ，并约定跳跃为“右态减左态”，则 $\begin{matrix} s [u] & = [f], \\ [u] & = u_{R} - u_{L}, \\ [f] & = f (u_{R}) - f (u_{L}) . \end{matrix}$ 它决定守恒所允许的界面速度；额外的熵或能量条件负责判断这种跳跃是否可容许。方程组中同一个速度必须同时满足每个守恒分量，不能把各分量分别相除后任选一个答案。

例如，一股浅水流进入较深的静水时，水深界面可以向上游移动，而左侧水体仍向下游流动。界面移动的速度、水体的速度与小扰动速度是不同的量。下文从随界面运动的控制窗口推导条件，再完整求解这个向量算例。

随界面移动的窗口

令 $u$ 为每单位长度的守恒量， $f (u)$ 为向右的通量。假设解在一条 $C^{1}$ 界面 $x = X (t)$ 两侧分别为 $C^{1}$ ，左右状态及其导数局部有界，并存在有限的单侧迹值。界面本身不额外储存集中为点质量的守恒量。

取半宽为 $ε > 0$ 的移动窗口 $a (t) = X (t) - ε, b (t) = X (t) + ε .$ 左、右端点都以速度 $s$ 运动。在固定空间中，流量为 $f$ ；相对于一个以速度 $s$ 移动的断面，还须扣除断面扫过的量 $s u$ 。因此相对通量为 $f - s u$ ，窗口总量 $I_{ε}$ 满足 $\begin{matrix} I_{ε} (t) & = \int_{a (t)}^{b (t)} u (x, t) d x, \\ {I_{ε}}^{'} (t) & = f (u (a, t)) - s u (a, t) \\ - f (u (b, t)) + s u (b, t) . \end{matrix}$ 这也可由固定区间的积分守恒结合移动端点的 Leibniz 公式得到。相对通量允许为负；负号表示相对窗口向左流动，并不必然表示守恒量为负。

窗口左端X减epsilon与右端X加epsilon和中间界面一起以速度s移动，左右相对通量分别为fL减suL与fR减suR — 箭头给相对通量选取统一的向右正方向。窗口中总量的变化等于左侧相对流入减右侧相对流出；箭头不预设这些数值为正。

还需说明窗口收缩时，储量的时间导数为何趋于零。把窗口分成界面两侧，并改用随动坐标 $y = x - X (t)$ ： $\begin{matrix} I_{ε} (t) & = \int_{- ε}^{0} u_{L} (X (t) + y, t) d y \\ + \int_{0}^{ε} u_{R} (X (t) + y, t) d y . \end{matrix}$ 直接对这个等式求导，两个被积函数分别变为 $u_{L, t} + s u_{L, x}$ 与 $u_{R, t} + s u_{R, x}$ 。在所述局部有界假设下，其绝对值都被同一个常数控制，所以 $| {I_{ε}}^{'} (t) | \leq C ε ⟶ 0.$ 这里使用了导数的有界性，不能仅从“窗口储量趋于零”就推断其导数也趋于零。

让 $ε ↓ 0$ ，窗口收支右侧趋于 $f (u_{L}) - s u_{L} - f (u_{R}) + s u_{R} .$ 故必须有 $f (u_{L}) - s u_{L} = f (u_{R}) - s u_{R},$ 也就是 $s [u] = [f]$ 。两侧相对通量相等，界面才不会凭空增加一份遗漏的守恒量。移动间断与弱解跳跃条件的严格对应可参见守恒律讲义。^[1]

分布形式中的界面项

对两侧为常数的台阶，记阶跃函数 $H (z)$ 在 $z < 0$ 时为零、 $z > 0$ 时为一。可写成 $u (x, t) = u_{L} + [u] H (x - X (t)) .$ 对紧支撑的光滑检验函数 $φ$ ，定义界面分布的作用为 $⟨ δ (x - X (t)), φ ⟩ = \int φ (X (t), t) d t .$ 这是以时间为参数的界面分布，公式中没有另乘曲线弧长因子。因为 $\partial_{x} H (x - X (t)) = δ (x - X (t)),$ $\partial_{t} H (x - X (t)) = - s δ (x - X (t)),$ 所以 $u_{t} + f (u)_{x} = ([f] - s [u]) δ (x - X (t)) .$ 这直接给出 RH 条件的符号。若两侧不是常数，则还要加上各光滑区域中的普通导数项；它们必须分别满足原方程，界面上的剩余项仍由 $[f] - s [u]$ 给出。

因此，在上述分段光滑框架下，“两侧满足守恒方程，并在界面满足 RH”足以消去正时间内部的全部分布残差；若讨论初值问题，还需核对初始迹。只检验间断以外的方程，会遗漏整个界面项。

当 $u_{L} \neq u_{R}$ 时，标量条件可解为 $s = \frac{f (u_{R}) - f (u_{L})}{u_{R} - u_{L}} .$ 这是通量图上连接两状态的割线斜率，而 $f^{'} (u)$ 是光滑区域内的特征速度。若 $u_{L} = u_{R}$ ，条件只是 $0 = 0$ ，不能再除以零去计算一个“间断速度”。

浅水界面的两个守恒分量

考虑水平、等宽水槽中的一维浅水模型，忽略底坡、摩擦与外部源项，水深 $h > 0$ ，水平方向的深度平均速度为 $v$ 。令 $m = h v$ ，并取常重力加速度 $g > 0$ 。水深与单位宽度的动量组成守恒变量 $𝑼 = (\begin{matrix} h \\ m \end{matrix}), 𝑭 (𝑼) = (\begin{matrix} m \\ m^{2} / h + g h^{2} / 2 \end{matrix}) .$ 模型写为 $𝑼_{t} + 𝑭 (𝑼)_{x} = 0$ 。其中 $h$ 的单位为米， $v$ 为米/秒， $m$ 为平方米/秒；第二个通量的单位为立方米/二次方秒。单位宽度及恒定水密度的公因子已除去。^[2]

设左侧水深为 $H$ 、速度为待定的正值 $V$ ，右侧水深为 $2 H$ 、速度为零，其中 $H > 0$ 。希望两状态只由一条匀速界面连接。质量与动量分别要求 $\begin{matrix} s (2 H - H) & = 0 - H V, \\ s (0 - H V) & = 2 g H^{2} - (H V^{2} + \frac{g H^{2}}{2}) . \end{matrix}$ 第一条给出 $s = - V$ 。代入第二条， $\begin{matrix} H V^{2} & = \frac{3}{2} g H^{2} - H V^{2}, \\ 2 H V^{2} & = \frac{3}{2} g H^{2}, \\ V^{2} & = \frac{3}{4} g H . \end{matrix}$ 因为选择 $V > 0$ ，最终得到 $V = \sqrt{\frac{3 g H}{4}}, s = - \sqrt{\frac{3 g H}{4}} .$ 界面向左，水体左侧仍向右流动。这个速度是在同时满足两条守恒式后求出的，不能把第一条的 $s = - V$ 当作完整答案而不检查动量。

取教学数值 $H = 1 m$ 、 $g = 9.81 m / s^{2}$ ，得到 $V \approx 2.71247 m / s, s \approx - 2.71247 m / s .$ 用同一组数再核对动量：左侧通量为 $H V^{2} + g H^{2} / 2 = 12.2625 m^{3} / s^{2}$ ，右侧为 $19.62 m^{3} / s^{2}$ ，差为 $7.3575 m^{3} / s^{2}$ ；而 $s [m] = (- V) (- H V) = H V^{2}$ 也恰为同一值。初始界面若在零处，一秒后位于约 $- 2.71247 m$ 。

理想浅水界面左侧水深一米且水流向右，右侧水深二米且静止，金色界面向左以约二点七一二米每秒移动 — 这是所给平底浅水模型中的理想跳跃，不是激波内部细结构。右侧水体静止，界面仍可向上游移动；速度由质量与动量共同约束。

能量方向的独立检查

守恒式规定了质量与动量，但浅水跃变还应符合机械能耗散方向。按水密度和槽宽归一化的机械能密度及其通量为 $η (h, m) = \frac{m^{2}}{2 h} + \frac{g h^{2}}{2},$ $Q (h, v) = v (\frac{h v^{2}}{2} + g h^{2}) .$ 这一对量对光滑解满足能量等式；对耗散跳跃，采用 $η_{t} + Q_{x} \leq 0$ 。其中能量通量含压力做功项，不只是 $v η$ 。^[3]

对刚求得的两态，利用 $V^{2} = 3 g H / 4$ ，逐项得到 $\begin{matrix} η_{L} & = \frac{7}{8} g H^{2}, η_{R} = 2 g H^{2}, \\ Q_{L} & = \frac{11}{8} g H^{2} V, Q_{R} = 0. \end{matrix}$ 跨界面的能量残差系数是 $\begin{matrix} [Q] - s [η] & = - \frac{11}{8} g H^{2} V + \frac{9}{8} g H^{2} V \\ = - \frac{1}{4} g H^{2} V < 0. \end{matrix}$ 因此这个候选与机械能耗散相容。这里核验的是浅水模型的这一物理熵；并未由一次检查推出任意方程组的全部熵条件或一般唯一性。

变式。 若仍取左深 $H$ 、右深 $2 H$ ，但两侧速度都为零，能否让这两个常态保持不变、只用一条跳跃连接？质量 RH 给出 $s H = 0$ ，故 $s = 0$ ；动量 RH 却要求 $0 = 3 g H^{2} / 2$ ，与 $g, H > 0$ 矛盾。因此不能用一个静止台阶表示其后续演化；至少需要改变中间状态或波形结构。问题不在质量守恒算错，而在另一条守恒式尚未满足。

满足 RH 却不满足熵条件的反例

考虑无量纲的标量方程 $u_{t} + (u^{3})_{x} = 0.$ 取左态零、右态一，并让界面以 $s = 1$ 运动。由于 $[u] = 1$ 、 $[f] = 1$ ，RH 完全成立，所得台阶是相应两常态初值的弱解。

但是取凸熵 $η (u) = u^{2} / 2$ ，相应熵通量由 $q^{'} (u) = η^{'} (u) f^{'} (u) = 3 u^{3}$ 给出，即 $q (u) = 3 u^{4} / 4$ 。界面上的熵残差为 $[q] - s [η] = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.$ 它不满足 $η_{t} + q_{x} \leq 0$ ，所以不是熵解。找出一个凸熵失败就足以排除这个候选；反之，一次熵检查通过一般不能替代完整定义。

三次通量图在零和一之间的割线斜率为一，零点切线斜率为零，一点切线斜率为三 — RH 只要求割线斜率 s=1。两端特征速度分别为0与3，向外展开；图中的割线关系成立并不能使这个向上跳跃成为熵可容许解。

这也区分了两个层次：RH 是跨界面收支的等式，熵条件是选择可容许弱解的额外限制。它们不能相互替代。

方程组、源项与使用边界

对 $𝑼_{t} + 𝑭 (𝑼)_{x} = 0$ ，条件是向量等式 $s [𝑼] = [𝑭] .$ 这要求 $[𝑭]$ 与 $[𝑼]$ 具有同一个比例系数。若某个状态分量的跳跃为零，该分量的通量跳跃也必须为零；其余非零分量算出的速度须一致。浅水变式正说明了只核验一个分量的危险。

若方程右侧有局部有界的普通源项，其在收缩窗口中的积分趋于零，局部 RH 形式仍保留；若源项本身集中在界面，或界面携带额外集中储量，就需把这些项纳入收支。例如右侧为 $a (t) δ (x - X (t))$ 时，分布系数要求 $[f] - s [u] = a (t)$ ，不能继续令它为零。边界冲击、改变截面的管道及底部不连续的流动，也应先写清真正的守恒变量、源项和界面模型，再使用跳跃关系。

有限体积方法通过相邻单元共享同一个通量来保存总量；但离散格式守恒并不自动保证熵相容或收敛。RH 也不能在间断处由 $u_{t} + f^{'} (u) u_{x} = 0$ 的普通乘法推导，因为这一步链式法则已要求了间断所不具备的光滑性。

参考文献

↑ Stanford University，Math 220A，Conservation Laws，§3.2，定理4及式(3.5)、(3.9)。访问日期：2026年10月31日。
↑ David I. Ketcheson、Randall J. LeVeque、Mauricio del Razo：The shallow water equations，Riemann Problems and Jupyter Solutions，开头方程及“Shock waves”节，浅水守恒变量、特征速度与跳跃关系。访问日期：2026年10月31日。
↑ Jean-Luc Guermond、Chris Kees、Bojan Popov、Eric Tovar（2022）：Well-Balanced Second-Order Convex Limiting Technique for Solving the Serre–Green–Naghdi Equations，Water Waves，注5.1，式(5.7a)—(5.7b)，Saint-Venant 浅水能量与通量。DOI：10.1007/s42286-022-00062-8。

[stanford-1] Stanford University，Math 220A，Conservation Laws，§3.2，定理4及式(3.5)、(3.9)。访问日期：2026年10月31日。

[claw-2] David I. Ketcheson、Randall J. LeVeque、Mauricio del Razo：The shallow water equations，Riemann Problems and Jupyter Solutions，开头方程及“Shock waves”节，浅水守恒变量、特征速度与跳跃关系。访问日期：2026年10月31日。

[energy-3] Jean-Luc Guermond、Chris Kees、Bojan Popov、Eric Tovar（2022）：Well-Balanced Second-Order Convex Limiting Technique for Solving the Serre–Green–Naghdi Equations，Water Waves，注5.1，式(5.7a)—(5.7b)，Saint-Venant 浅水能量与通量。DOI：10.1007/s42286-022-00062-8。

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