双曲型方程

双曲型方程（hyperbolic equation）是一类具有实特征传播结构的偏微分方程。最熟悉的例子是波动方程：初始扰动沿有限速度传播，而求解一个点所需的数据受到特征线限制。“双曲型”描述方程最高阶部分的结构，并不表示它的解图像是一条双曲线。

不同阶数和方程组使用不同的严格定义。本条先讲两个自变量的实线性二阶方程，说明判据、坐标变换和初值曲线；再以波动方程的局部能量说明传播范围，最后区分一阶系统的定义。

最高阶项与双曲判据

设自变量为 $x,t$，二阶实线性方程写为 $$A{u}_{xx}+2B{u}_{xt}+C{u}_{tt}+D{u}_x+E{u}_t+Fu=h.$$ 各系数可依赖 $x,t$。最高阶的三个系数组成主部矩阵 $$\begin{array}{cc}M& =\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right),\\ p(\xi ,\tau )& =A{\xi }^2+2B\xi \tau +C{\tau }^2.\end{array}$$ 其中 $p$ 称为主符号，$\xi ,\tau$ 在此表示两个实方向分量，不是解的函数值。低阶项影响具体解，却不参与这个二阶分类。

在主部不是零矩阵的点，若 $$\Delta =B^2-AC>0,$$ 则称方程在该点是双曲型；若在一个区域的每点都满足，便称在该区域为双曲型。此时 $detM=-\Delta <0$，矩阵的两个特征值异号，主符号有两条不同的实零方向。它们决定两族特征曲线。若 $\Delta <0$，称椭圆型；若 $\Delta =0$ 且主部不为零，通常称抛物型。

例如 $u_{tt}-4u_{xx}=0$ 的 $A=-4,B=0,C=1$，所以 $\Delta =4>0$。而 $u_{xx}+u_{tt}=0$ 的判据为 $-1$，没有同样的实传播方向。系数也可能使类型随位置变化；不能仅凭方程里出现了二阶时间导数就断定整个区域都为双曲型。

这个分类不因光滑可逆的实坐标变换而改变。若新坐标的雅可比矩阵为 $J$，主部矩阵变为 $\tilde{M}=JM{J}^{𝖳}$；坐标变换的二阶导数只产生低阶项。因此 $$det\tilde{M}=(detJ{)}^{2}detM.$$ 可逆时 $detJ\ne 0$，行列式符号保持不变。选择特征坐标可以简化方程，不能把双曲主部变成正定的椭圆主部。

特征方向与一例坐标变换

在位置—时间平面中，二阶特征曲线满足 $$A(\mathrm{d}t{)}^2-2B\mathrm{d}x\mathrm{d}t+C(\mathrm{d}x{)}^2=0.$$ 当 $C\ne 0$ 时，把 $c_{\ast }=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ 代入，得到二次方程 $$C{c}_{\ast }^2-2B{c}_{\ast }+A=0.$$ 判别式为 $4\Delta$，所以双曲条件恰好给出两个不同的实特征速度。波动方程中，它们是 $c_{\ast }=-c,c$。变系数时这些方向可能弯曲，不能把它们一律画成直线。

考虑无量纲的常系数例子 $$u_{tt}+2u_{xt}-3u_{xx}=0.$$ 此时 $A=-3,B=1,C=1$，有 $\Delta =4$，两个速度为三与负一。最高阶算子可直接因式分解为 $$({\partial }_t+3{\partial }_x)({\partial }_t-{\partial }_x)u=0.$$ 展开两算子，混合项系数为 $3-1=2$，空间二阶系数为 $-3$，正好恢复原式。

沿这两族特征，分别保持 $x-3t$、$x+t$ 不变。取新坐标 $$\begin{array}{cc}\xi & =x-3t,\eta =x+t,\\ u(x,t)& =U(\xi ,\eta ).\end{array}$$ 其雅可比行列式为四，可逆。链式法则给出 $$\begin{array}{cc}{\partial }_x& ={\partial }_{\xi }+{\partial }_{\eta },\\ {\partial }_t& =-3{\partial }_{\xi }+{\partial }_{\eta },\\ {\partial }_t+3{\partial }_x& =4{\partial }_{\eta },\\ {\partial }_t-{\partial }_x& =-4{\partial }_{\xi }.\end{array}$$ 于是原方程化为 $-16U_{\xi \eta }=0$。在一个坐标矩形上先对 $\eta$ 积分，$U_{\xi }$ 只依赖 $\xi$；再对 $\xi$ 积分，得到 $$\begin{array}{cc}U(\xi ,\eta )& =P(\xi )+Q(\eta ),\\ u(x,t)& =P(x-3t)+Q(x+t).\end{array}$$ 这揭示了两个不同方向的传播分量。对于光滑的全直线常系数问题，上式给出一般解；有变系数或低阶项时，仍可利用特征结构，但未必保持这种简单的两项相加形式。

两族特征由 x−3t 与 x+t 的等值线组成。左右速度不必互为相反数，双曲判据要求的是两个不同的实方向。

从初值确定两个传播分量

在上述方程中取初始位移 $u(x,0)=\cos x$、初始速度 $u_t(x,0)=0$。一般解必须满足 $$P(x)+Q(x)=\cos x,-3P^{\prime }(x)+Q^{\prime }(x)=0.$$ 第一式求导，再与第二式联立，得到 $P^{\prime }=-\sin x/4$、$Q^{\prime }=-3\sin x/4$。两积分常数之和为零，故 $$u(x,t)=\frac{1}{4}\cos (x-3t)+\frac{3}{4}\cos (x+t).$$ 在零时刻，两项相加为 $\cos x$；其时间导数为 $$u_t(x,t)=\frac{3}{4}\sin (x-3t)-\frac{3}{4}\sin (x+t),$$ 在零时刻相消。两个传播速度不对称，所以“静止释放便左右各分一半”的规则在这里不成立；它只适用于具有对称速度的标准波动方程。

初值曲线也须与主部相配

给定二阶方程的初始位置和初始速度，仍需核对选择的初始曲线。曲线的法向量为 $n=(n_x,n_t)$ 时，若 $p(n_x,n_t)=0$，它是特征曲线；此时不能直接沿用通常的非特征初值问题结论。

对 $t=0$，法向量为 $(0,1)$，故 $p(0,1)=C$。前面的方程有 $C=1$，初值线非特征。反例是 $$u_{xt}=0.$$ 它的 $A=C=0,B=1/2$，仍有 $\Delta =1/4>0$，却以 $t=0$ 为特征线。$u(x,t)=0$ 和 $u(x,t)=t^2$ 都满足方程，也都满足 $u(x,0)=u_t(x,0)=0$，但正时间解不同。这个例子把“方程属于双曲型”和“在任意曲线上给两份数据即可唯一求解”区分开来。

波动方程的局部能量与依赖域

双曲结构与有限传播的联系，可以在 $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$、$c>0$ 中严格看清。以下假设解在所用闭锥邻域中有连续的二阶导数。固定目标点 $(x_0,t_0)$，其中 $t_0>0$；沿两族特征向过去追溯，得到区间 $$[x_0-c{t}_0,x_0+c{t}_0].$$ 要证明区间外的数据不影响该点，可以比较两组初值在区间内相同的解。令它们之差为 $w$，则 $w$ 仍满足同一波动方程，且初始位移、初始速度在这个区间均为零。

在时刻 $t<t_0$，取收缩区间 $$a(t)=x_0-c(t_0-t),b(t)=x_0+c(t_0-t).$$ 令局部能量为 $$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_{a(t)}^{b(t)}(w_t^2+c^2{w}_x^2)\mathrm{d}x.$$ 用方程替换 $w_{tt}$，积分内能量密度的时间导数为 $c^2{\partial }_x(w_t{w}_x)$。再对移动端点求导：$a^{\prime }=c$、$b^{\prime }=-c$。端点通量与端点收缩所移去的能量合并成两个平方，得到 $$\begin{array}{cc}{E}^{\prime }(t)& =c^2[w_t{w}_x{]}_{a(t)}^{b(t)}\\ & -\frac{c}{2}(w_t^2+c^2{w}_x^2){|}_{b(t)}\\ & -\frac{c}{2}(w_t^2+c^2{w}_x^2){|}_{a(t)}\\ & =-\frac{c}{2}(w_t-c{w}_x{)}^2{|}_{b(t)}\\ & -\frac{c}{2}(w_t+c{w}_x{)}^2{|}_{a(t)}\le 0.\end{array}$$ 这一步中的负号来自区间两端朝内移动；在固定区间上，边界通量一般没有这个符号。

初始时 $E(0)=0$，而能量始终非负，所以锥内 $w_t=w_x=0$。沿锥内部的竖直线 $x=x_0$，$w$ 保持初始值零；由连续性取 $t\uparrow t_0$，得到 $w(x_0,t_0)=0$。这便证明了目标点只依赖底部区间内的数据，称为依赖域性质。它没有把有限几条画出的特征线当成完整证明。

本图 c=2，目标点为 (1,1)。时刻 t 的积分区间由 x=2t−1 与 x=3−2t 围成，随时间缩向目标点。

本图的初始数据范围是 $[-1,3]$。若把这一段外的初值改变，而段内位移和速度完全保留，$(1,1)$ 处的解不变。若改变段内速度，目标点可能改变；依赖域说明可受影响的范围，并不说其中每一点的数据对任意初值都产生非零影响。

有限支撑的可复算例子

取 $c=2$，全直线初始数据为 $$\varphi (x)=\{\begin{array}{cc}(1-x^2{)}^3,& |x|\le 1,\\ 0,& |x|>1.\end{array}$$ $$u(x,0)=\varphi (x),u_t(x,0)=0.$$ 这里 $\varphi$ 及其前两阶导数在 $x=\pm 1$ 均与外侧零函数相接，故 $\varphi \in C^2(ℝ)$。标准波动方程的达朗贝尔公式给出 $$u(x,t)=\frac{1}{2}\varphi (x-2t)+\frac{1}{2}\varphi (x+2t).$$ 每一项都能直接求两次导数并核对 $u_{tt}=4u_{xx}$；它们在零时刻相加为 $\varphi$，初始速度相消。

在 $t=3/4$，右行分量可能非零的范围由 $|x-3/2|<1$ 给出，即 $1/2<x<5/2$；左行分量同理位于 $-5/2<x<-1/2$。所以解的支撑为两闭区间 $$[-5/2,-1/2]\cup [1/2,5/2],$$ 两个峰位于 $x=\pm 3/2$，峰高均为 $1/2$。在 $x=0$，两个自变量均已落在初始支撑外，故 $u(0,3/4)=0$；在 $x=3/2$，只有第一项贡献 $\varphi (0)/2=1/2$。

金色虚线是初始数据，实线是 t=3/4 时的总位移。初始数据在区间外严格为零，图中的外缘因此能用于核对有限传播。

能量证明还给出更一般的上界：初始扰动位于 $[-1,1]$，则时刻 $t$ 的影响范围包含在 $[-1-2t,1+2t]$ 内。它不保证该大区间内部全部非零；本例的中央空隙正是一个对照。

变式。 如果只知道 $u(x,0)=0$，在标准波动方程中能否断言后来始终为零？不能。取全直线初始速度 $u_t(x,0)=1$，则 $u(x,t)=t$ 同样满足方程，且初始位移为零。这个函数的全线总能量发散，但在任意有限依赖锥上能量有限，不妨碍上述局部推理。改变初速度已改变问题的数据。

一阶系统中的双曲结构

对常系数的一维实线性系统 $${𝑼}_t+H{𝑼}_x=0,H\in {ℝ}^{m\times m},$$ 常用的双曲性要求 $H$ 有实特征值且能在实数域对角化。若 $H=S\Lambda S^{-1}$，作变换 $𝑽=S^{-1}𝑼$，便得到 $$(V_j{)}_t+{\lambda }_j(V_j{)}_x=0(1\le j\le m).$$ 每个特征分量以对应实速度 ${\lambda }_j$ 传播。特征值两两不同时称严格双曲；重根时仍需检查能否找到完整特征向量组。对变系数、高维和更高阶方程，弱双曲、强双曲及对称双曲还需分别说明正则性与一致性条件，不能直接把二维的 $B^2-AC$ 当作所有系统的定义。

例如设 $v=u_t$、$w=c{u}_x$，波动方程可写为 $${\left(\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right)}_t+\left(\begin{array}{cc}0& -c\\ -c& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{c}v\\ w\end{array}\right)}_x=0.$$ 矩阵有速度 $-c,c$。相应变量 $v+w$ 满足速度 $-c$ 的输运方程，$v-w$ 满足速度 $c$ 的输运方程，与二阶方程的两族特征一致。若从这个一阶系统恢复 $u$，还须让初始 $w$ 与 $c{u}_x$ 相容，不能把辅助变量当作任意独立数据。

非线性双曲方程可以在有限时间失去光滑性，随后需要弱解与熵解来处理间断。双曲结构描述传播方向，并不自动保证解永远光滑，也不替代边界条件、初值条件或适用区域的说明。

相关条目

• 波动方程：弦振动模型、达朗贝尔公式与边界反射。
• 特征曲线法、能量估计：两种研究初值传播的工具。
• 椭圆算子、热方程：不同主部结构的对照。
• 古典解、弱解、熵解：正则性与间断的处理。