稀疏波

稀疏波（rarefaction wave，也称膨胀波）是双曲守恒律中由一族向外展开的特征线构成的连续波形。它连接两个常状态，过渡区的宽度随时间增大。与把两个状态压到一个移动跳跃上的激波相比，稀疏波用连续的一系列中间状态填满传播方向之间的区域。

稀疏波不一定在位置图上呈直线，也不一定表示某个数值从左到右减小；波形取决于通量怎样把状态映射为特征速度。本条以严格凸的非线性标量通量推导它的形状，再用指数通量完整计算一个弯曲剖面。

特征速度从左到右展开

考虑整条实线上的守恒律 $$u_t+f(u{)}_x=0.$$ 设 $f$ 在包含闭区间 $[a,b]$ 的开区间上二阶连续可微，$a<b$，并且 $$f^{″}(v)>0(a\le v\le b).$$ 这一条件使 $f^{\prime }$ 严格递增。初始状态在原点两侧分别为 $a,b$： $$u_0(x)=\{\begin{array}{cc}a,& x<0,\\ b,& x>0.\end{array}$$ 这是一个黎曼问题。在解光滑的地方，沿特征线有 $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f^{\prime }(u),\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=0.$$ 因此状态 $a$ 以速度 $f^{\prime }(a)$ 传播，状态 $b$ 以更大的速度 $f^{\prime }(b)$ 传播，两侧信息向外分开。中间缺少的并非守恒量，而是尚未由两组常态特征指定的状态。稀疏波正是在这个扇形区域中选取所有中间状态。

自相似剖面与反函数

原点发出的直线可以按比值 $\xi =x/t$ 标记。在 $t>0$ 时设 $u(x,t)=w(\xi )$，链式法则给出 $$\begin{array}{cc}{u}_t& =-\frac{\xi }{t}{w}^{\prime }(\xi ),\\ f(u{)}_x& =\frac{1}{t}{f}^{\prime }(w(\xi ))w^{\prime }(\xi ).\end{array}$$ 代回方程并乘以 $t$，得到 $$(f^{\prime }(w)-\xi )w^{\prime }=0.$$ 每段要么为常态，要么满足 $f^{\prime }(w)=\xi$。在过渡区，利用 $f^{\prime }$ 的反函数得到 $$u(x,t)=\{\begin{array}{cc}a,& x/t\le f^{\prime }(a),\\ (f^{\prime }{)}^{-1}(x/t),& f^{\prime }(a)<x/t<f^{\prime }(b),\\ b,& x/t\ge f^{\prime }(b).\end{array}$$ 这里 $(f^{\prime }{)}^{-1}$ 是定义在 $[f^{\prime }(a),f^{\prime }(b)]$ 上、取值在 $[a,b]$ 的反函数，不是倒数 $1/f^{\prime }$。在两条扇边 $x=f^{\prime }(a)t$、$x=f^{\prime }(b)t$ 上，反函数分别取回 $a,b$，所以函数连续相接。扇区宽度是 $$t(f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)).$$ 边界上的函数值取相邻的连续值，不另加一条移动跳跃。此构造是凸标量守恒律黎曼解的标准部分。

指数通量下的弯曲稀疏波

取无量纲通量 $f(u)=e^u$，左态 $a=0$，右态 $b=\log 4$；这里及以下 $\log$ 表示自然对数。特征速度是 $f^{\prime }(u)=e^u$，因而左扇边速度为一，右扇边速度为四。反函数为自然对数，解为 $$u(x,t)=\{\begin{array}{cc}0,& x\le t,\\ \log (x/t),& t<x<4t,\\ \log 4,& x\ge 4t.\end{array}$$ 扇区中 $x/t>0$，对数有定义。它的导数为 $$\begin{array}{cc}{u}_t& =-\frac{1}{t},\\ u_x& =\frac{1}{x},\\ f^{\prime }(u)& =\frac{x}{t}.\end{array}$$ 所以 $u_t+f^{\prime }(u)u_x=-1/t+(x/t)(1/x)=0$。剖面不是直线：靠近左扇边的斜率较大，向右逐渐减小。

在 $t=1/2$，扇区为 $1/2<x<2$。在 $x=1$ 处，$x/t=2$，故状态为 $\log 2\approx 0.6931$。在左边界 $x=1/2$，对数取零；在右边界 $x=2$，对数取 $\log 4\approx 1.3863$，与两侧常态吻合。

图中的弯曲部分满足 u=log(2x)。虚辅助线把点 (1,log2) 与横、纵坐标对应起来。

在时空图中，每条从原点发出的射线满足 $x=e^{u}t$，因此射线上的状态为 $u=\log (x/t)$。速度一、二、四分别对应状态零、$\log 2$、$\log 4$。一个状态沿自己的特征线保持不变；固定位置处的状态则可能随时间改变。这两种观察方式不应混合。

扇区在两条极端射线之间展开。图只画有限条射线，公式中的反函数为整个扇区的每一个点指定状态。

守恒、熵与初始迹的验证

这个构造在扇区内部直接满足微分方程，在外侧常态区也满足方程。若按这三个区域分别作分部积分，扇边两侧的 $u$ 与 $f(u)$ 都相等，接缝通量相消，便得到弱解的积分恒等式；不需要把扇边解释为附带了集中质量的界面。

还须核对初始数据。一般情形中，解与初始台阶不同的范围，包含在由 $0,f^{\prime }(a)t,f^{\prime }(b)t$ 三点围成的区间内；其长度至多为 $$t(max(0,f^{\prime }(b))-min(0,f^{\prime }(a))).$$ 状态之差至多为 $b-a$，故局部积分误差随 $t\downarrow 0$ 趋零。指数例子还能算出全线误差的精确值： $$\begin{array}{cc}& {\int }_{ℝ}|u(x,t)-u_0(x)|\mathrm{d}x\\ & =t\log 4+{\int }_t^{4t}\log (4t/x)\mathrm{d}x\\ & =t\log 4+t{\int }_1^4\log (4/\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =t\log 4+t(3-\log 4)=3t.\end{array}$$ 第一项来自 $0<x<t$：原初值为 $\log 4$，当前解仍为零。第二项来自斜坡区。两侧初值不为可积函数并不妨碍这里的差函数可积。

验证熵解时，取任意光滑凸熵 $\eta$，并令熵通量 $q$ 满足 $q^{\prime }={\eta }^{\prime }{f}^{\prime }$。在三个光滑区域内，链式法则给出 $${\partial }_t\eta (u)+{\partial }_{x}q(u)=0.$$ 扇边上 $\eta (u)$ 与 $q(u)$ 连续，区域之间的边界项仍相消。由于 $f^{″}$ 在闭状态区间上有正下界，解在任何远离零时刻的有界区域上是 Lipschitz 连续的。于是正时间内部满足分布意义的熵等式；用光滑凸函数逼近绝对值熵，再利用刚证得的初始积分迹，就得到含初值项的全部熵不等式。这说明稀疏波是相应的熵解，而不只是一个画起来连续的候选。

梯度、扇边与光滑初值

在一般扇区内，对 $f^{\prime }(u)=x/t$ 求导可得 $$\begin{array}{cc}{u}_x& =\frac{1}{t{f}^{″}(u)},\\ u_t& =-\frac{x/t}{t{f}^{″}(u)}.\end{array}$$ 若 $m=\underset{[a,b]}{min}{f}^{″}>0$，有 $0<u_x\le 1/(tm)$。它说明固定正时间剖面的梯度受控，但不能把 $t\downarrow 0$ 的初始跳跃抹去。扇边外侧导数为零，内侧导数一般非零，所以稀疏波通常连续而不在扇边处一阶连续可微。

指数例子也可从光滑的上升初值观察特征展开。取 $\epsilon >0$，令 $$g_{\epsilon }(z)=\frac{\log 4}{2}(1+\tanh (z/\epsilon )).$$ 记相应光滑解为 $u^{\epsilon }$，以初始位置 $z$ 标记特征，得到 $$\begin{array}{cc}u& =g_{\epsilon }(z),\\ x& =z+t{e}^{g_{\epsilon }(z)}.\end{array}$$ 对 $z$ 求导： $$\frac{\partial x}{\partial z}=1+t{e}^{g_{\epsilon }(z)}{g_{\epsilon }}^{\prime }(z)\ge 1.$$ 这里 ${g_{\epsilon }}^{\prime }\ge 0$。又因 $1<e^{g_{\epsilon }}<4$，映射只是对 $z$ 作有界距离的平移，且严格递增，因而在全线可逆。原初值的一小段连续过渡被展开，没有发生特征交叉。在 $z=0$ 上，始终有 $u=\log 2$、$x=2t$，可以直接核对图中的中间特征。

虚线与实线分别是同一光滑初值在 t=0 和 t=1/2 的剖面，ε=0.3；点线是台阶初值的稀疏波，初始数据不同。三者不能当作同一时刻的三种数值解。

这组光滑解与稀疏波的接近程度也可定量说明。正半轴上的初值差为 $(\log 4)(1-\tanh (x/\epsilon ))/2$，负半轴给出相同的积分贡献。令 $y=x/\epsilon$，得到 $$\begin{array}{cc}& \Vert g_{\epsilon }-u_0{\Vert }_1\\ & =\epsilon \log 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(1-\tanh y)\mathrm{d}y\\ & =\epsilon \log 4\log 2.\end{array}$$ 最后一步用原函数 $y-\log \cosh y$ 在无穷远的极限 $\log 2$。用 $u_{\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ 记台阶初值的稀疏波。它与光滑解共享同一通量，标量熵解的积分收缩定理于是给出 $$\begin{array}{cc}& \Vert u^{\epsilon }(\cdot ,t)-u_{\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{n}}(\cdot ,t){\Vert }_1\\ & \le \epsilon \log 4\log 2.\end{array}$$ 因此对每个固定时间，$\epsilon \to 0$ 时不仅图形接近，差函数的全线积分也趋零。特征计算与稳定性定理各自承担了构造和极限控制的一步。

状态顺序与凸性边界

变式。 仍用指数通量，交换左右状态，取左态 $\log 4$、右态零。此时左特征速度四快于右侧的一，特征汇聚，应由兰金—雨贡纽条件确定压缩激波： $$s=\frac{4-1}{\log 4-0}=\frac{3}{\log 4}\approx \mathrm{2.1640.}$$ 它严格介于一与四之间。不能把原稀疏剖面直接镜像后仍套用 $\log (x/t)$；若把一个单调上升的反函数用于从大状态接到小状态，两个扇边的次序已经相反。

对于严格凹的通量，$f^{\prime }$ 随状态减小而增大，因此从较大左态到较小右态也可能产生稀疏波，例如交通流模型中的 $f(u)=u(1-u)$。真正的判据是两侧特征向外展开及相应的熵条件，而不是单看 $a<b$。

本条用 $f^{″}>0$ 保证反函数可微与梯度估计。仅有 $f^{″}\ge 0$ 时，可能出现线性区间，$f^{\prime }$ 在其中为常数，普通反函数便不再存在；此时不能照搬全部公式。若区间内凸性改变，黎曼解还可能含多个不同波段，需要依据完整熵条件构造。方程组中的稀疏波则沿相应特征场积分，不能把标量的 $(f^{\prime }{)}^{-1}$ 逐分量使用。

相关条目

• 黎曼问题、兰金—雨贡纽条件：台阶初值与移动界面。
• 特征曲线法、熵解：传播方向与解的选择。
• 激波、双曲型方程：压缩与展开的对照。