几何原本第三卷：圆的几何

《几何原本》第三卷研究圆、弦、切线、圆周角与两圆的位置关系，共有37 个命题。本站把相同证明链上的命题合写成独立知识词条，下列编号逐条对应原典；点击标题可读中文证明、作图和例子。阅读时不必照编号硬走：先学弦与圆心，再学切线与圆周角，最后看相交弦和割线切线。

第三卷的基本对象可以先分清：弦是两个圆周点间的线段；弧是圆周的一段；圆弧段由一条弦与一段弧围成；扇形由两条半径与一段弧围成。切线与圆只有一个公共点，割线经过圆并有两个公共点；圆周角定理中的角顶点在圆周上，不在圆心。等圆指半径相等，不等于“圆心相同”。

圆心、弦与两圆（III.1—15）

• III.1　圆心的尺规确定：两条弦的垂直平分线交出圆心。
• III.2　圆的弦位于圆内：弦的内点严格在圆盘内。
• III.3　垂径定理：过圆心的垂线平分非直径弦，反向也成立。
• III.4　圆内相交弦的中点：两条非直径弦不能互相平分。
• III.5　共心圆与相切圆：不同半径的共心圆不能相交。
• III.6　共心圆与相切圆：它们也不能相切。
• III.7　圆内点到圆周的距离：偏心内点有唯一最近、最远圆周点。
• III.8　圆外点到圆周的距离：外点到圆周的距离也沿半圆单调改变。
• III.9　等距圆周点判定圆心：三个不同等距圆周点认出圆心。
• III.10　两圆交点的个数：不同圆至多有两个交点。
• III.11　两圆相切的连心线：内切时两个圆心与切点共线。
• III.12　两圆相切的连心线：外切时切点位于连心线上。
• III.13　两圆切点的唯一性：不同圆不能有两个切点。
• III.14　弦长与圆心距：等弦与等圆心距互相对应。
• III.15　弦长与圆心距：直径最长，较近圆心的弦较长。

切线与圆周角（III.16—34）

• III.16　切线与半径垂直：切点处垂线是唯一切线；原典还讨论弧与切线的局部接触。
• III.17　过圆外一点作切线：用以圆心和外点为直径的辅助圆找切点。
• III.18　切线与半径垂直：半径垂直切线。
• III.19　切线与半径垂直：切点处的法线经过圆心。
• III.20　圆周角定理：同弧圆心角是圆周角的两倍。
• III.21　圆周角定理：同弧圆周角相等。
• III.22　圆内接四边形的对角：两组对角各互补。
• III.23　圆弧段的唯一性与全等：同弦同侧、同圆周角的弧段唯一。
• III.24　圆弧段的唯一性与全等：等弦上相似的弧段全等。
• III.25　由圆弧恢复整圆：弧上三点确定原来的整圆。
• III.26　弦、圆心角与弧的对应：等角对等弧。
• III.27　弦、圆心角与弧的对应：等弧对等角。
• III.28　弦、圆心角与弧的对应：等弦截等类弧。
• III.29　弦、圆心角与弧的对应：等弧对应等弦。
• III.30　圆弧的平分：弦的垂直平分线找出大小弧的中点。
• III.31　半圆所对的圆周角：直径所对圆周角为直角。
• III.32　切线与弦定理：弦切角等于相对弧段内的圆周角。
• III.33　给定弦与圆周角作圆弧：从弦和角作出目标圆弧段。
• III.34　已知圆上截取指定圆周角：在已有圆上截取目标弧段。

线段积（III.35—37）

• III.35　相交弦定理：圆内交点的两组弦段积相等。
• III.36　割线切线定理：圆外点的割线外段乘全长等于切线段平方。
• III.37　割线切线定理的逆命题：由该乘积等式反过来判定切线。

一个便于学习的证明链是：垂径定理给出半弦，弦长与圆心距联系长度；圆周角定理把同弧的角联结起来，相交弦定理因而可以比较两个三角形；切线与半径垂直再使割线切线定理的右边成为直角三角形的平方。作图题 III.17 可先读半圆所对的圆周角，顺序与原典编排略有不同。

来源

• David E. Joyce 编《几何原本》第三卷目录。目录用于核对命题编号；本站中文讲解、现代推导与教学图独立编写。
• 第三卷首命题：求圆心；末命题：切线判定。