分类:微积分

微积分研究从局部变化率推回整体变化、从小块贡献得到累积量的规律。本分类先沿一元函数的极限与连续性学习，再读导数、中值定理和积分，最后进入多元函数。每篇从一个具体例子展开，同时写明定理的条件；证明与图解在相应词条中。

• 极限：用误差说明“趋近”。
• 上确界原理：有界集合的最小上界与实数完备性。
• 函数的连续性：点值与附近极限何时相合。
• 介值定理：连续曲线如何保证取到中间高度。
• 闭区间连续函数的最值定理：连续函数在闭区间内取得上下界。
• 一致连续性：能否用同一尺度控制整段函数。

• 导数、可导与连续：差商极限与两个条件的关系。
• 导数运算法则、链式法则、隐函数求导：从定义走向组合函数和隐式曲线。
• 罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理：依次比较等高端点、函数的区间斜率和两个函数的变化。
• 洛必达法则：用中值定理处理满足条件的未定式。
• 单调性与极值判别、泰勒定理：用导数符号判断形状，用余项控制局部近似。

• 积分、黎曼和与可积性：先定义和式极限，再检查何时存在。
• 微积分基本定理：累计函数求导与原函数端点差。
• 积分换元法、分部积分法：分别把链式法则与乘积法则反向使用。
• 反常积分：无限区间和奇异端点须先截断再求极限。

• 偏导数、方向导数与梯度：比较坐标方向与任意单位方向的局部变化。
• 二重积分：在平面区域求和，并通过画区域交换积分次序。

• 数列的极限：从“所有足够靠后的项”定义收敛，并用单调有界定理判断存在性。
• 博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理：从有界序列中选出收敛子列。
• 柯西收敛准则：不先猜极限，通过尾部两两接近判断收敛。
• 无穷级数：把部分和当作数列，推导等比级数并辨认项趋零为何不充分。
• 幂级数：先确定收敛半径，再在区间内部逐项求导、积分；与泰勒定理的有限阶余项区分。

总览见微积分；需要复习函数、符号和基础证明，可沿学习路径回到函数与逻辑。图中的教学数据与函数由本站独立选取，完整条件和推导以词条正文为准。